|
5
BAB II
KERANGKA TEORITIS
2.1 Struktur Aljabar
Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang
mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
grupoid, grup hingga field.
Secara khusus struktur aljabar adalah himpunan tak kosong dengan satu
komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup.
Contoh:
•
A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
(x + y) ? A, ?x,y ? A
•
B = {x / x bilangan real} dengan operasi +, ×
(x + y) ? B, ?x,y ? B
(x ×
y) ? A, ?x,y ? B
2.2 Operasi Biner
Operasi biner yang biasa disebut komposisi biner adalah operasi yang
berkenaan dengan dua elemen dan menghasilkan elemen yang masih merupakan
anggota himpunan yang bersangkutan. Beberapa operasi biner yang dikenal
|
|
6
dalam matematika misalnya operasi penjumlahan dan
perkalian pada himpunan
bilangan bulat.
Operasi
gabungan,
irisan,
selisih dan selisih
simetri dalam
himpunan
kuasa
merupakan contoh lain operasi biner pada himpunan.
Contoh:
•
Penjumlahan dua buah bilangan bulat sembarang akan menghasilkan bilangan
bulat lagi, sehingga penjumlahan adalah operasi biner pada himpunan bilang
bulat.
•
Perkalian dua buah bilangan bulat juga menghasilkan bilanga bulat lagi. Jadi
operasi perkalian dalam hal ini juga merupakan operasi biner.
2.3 Operasi Komutatif
Sebuah
operasi
biner
*
pada
himpunan
A
dikatakan
komutatif
jika
dan
hanya jika untuk setiap a, b ? A berlaku:
a * b
= b * a
2.4 Operasi Asosiatif
Sebuah operasi biner * pada himpunan A dikatakan asosiatif jika dan hanya
jika untuk setiap a, b, c
?
A berlakus:
( a * b ) * c = a * ( b * c )
|
 7
2.5 Operasi Distributif
Sebuah operasi biner
dikatakan distributif terhadap operasi biner *
jika
dan hanya jika untuk setiap a, b, c
?
A berlaku:
a
( b * c ) = (a
b) * ( a
c ).
2.6 Unsur Kesatuan
Ada dua unsur kesatuan, yaitu:
•
Unsur kesatuan aditif
Yang disebut unsur kesatauan aditif ialah elemen
e
?
A
yang bersifat
a
+
e
=
e
+
a
=
a
, untuk setiap
e
?
A
.
Contoh: 0 merupakan unit kesatuan aditif dalam sistem bilangan bulat dengan
operasi penjumlahan.
•
Unsur kesatuan multiplikatif
Yang disebut unsur kesatauan multiplikatif
ialah elemen
e
?
A
yang
bersifat a * e = e * a = a , untuk setiap e ? A .
Contoh: 1 merupakan unit kesatuan multiplikatif dalam sistem bilangan bulat
dengan operasi perkalian.
2.7 Invers
Misalkan a, a’ ? A, dimana elemen
identitas dari operasi biner
adalah
e
dan a
a’ = a’
a
=
e, maka a’ disebut sebagai elemen invers dari a untuk
operasi biner
.
|
|
8
2.8 Grupoid
Grupoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner.
Contoh:
•
A = {x / x bilangan bulat} dengan operasi +
(x + y) ? A, ?x,y ? A
•
B = {x / x bilangan bulat} dengan operasi ×
(x ×
y) ? B, ?x,y ? B
2.9 Semi Grup
Semi
grup
(G,*)
adalah suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner
bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut ini:
1. Sifat tertutup terhadap operasi *
Untuk setiap a, b ? G
berlaku a*b adalah juga merupakan elemen G.
2. Sifat asosiaif terhadap operasi *
Untuk setiap a, b, c ? G berlaku
(a * b) * c = a * (b * c) .
2.10 Grup
Grup
asalah
suatu
sistem
atau
struktur
aljabar
yang
sederhana.
Jika
suatu
himpunan G ?
Ø
dengan suatu operasi ° yang didefinisikan bagi elemen-elemen G
bersifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap elemen G
mempunyai
invers terhadap operasi biner
tersebut,
maka
himpunan G
terhadap
|
|
9
operasi biner itu membentuk suatu grup. Selanjutnya keempat sifat tersebut
dinamakan aksioma-aksioma suatu grup.
Suatu
himpunan
G
yang
tidak
kosong
dan
suatu
operasi
biner
o yang
didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat –
sifat berikut ini:
1. Tertutup, ?a,b ? G berlaku (a°b) ? G.
2. Operasi
o
pada G bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap
a, b, c,? G
maka
(a o b) o c = a o (b o c) .
3. G
terhadap
operasi
biner o mempunyai
elemen
identitas,
yaitu
ada
e
?
G
sedemikian sehingga a o e = e o a = a untk setiap a ? G .
4. Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner
o
dalam G, yaitu
untuk setiap
a
?
G
ada
a 1 ? G
-1 ? G
sedemikian
hingga
a
o
a
-1
=
a
-¹
o
a
=
e
adalah elemen identitas dari G.
Jika himpunan G terhadap operasi biner
o membentuk suatu grup, maka grup
G ini dinyatakan dengan notasi
(G,o) . Tidak setiap grup memiliki sifat
komutatif terhadap binernya.
Operasi biner
o pada G bersifat komutatif
yaitu
untuk setiap
a, b ? G
maka
a
o b = b o a . Maka grup
(G,o)
disebut grup abelian atau grup komutatif.
|
|
10
2.11 Ring
Ring adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu + dan *.
Terhadap operasi +, struktur
aljabar itu merupakan grup abelian, terhadap *
struktur aljabar itu semi grup, dan operasi * bersifat distribusi kiri dan distribusi
kanan terhadap +.
Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan
tanda
+
dan *
merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat
berikut ini.
1. Sifat tertutup terhadap operasi +
Untuk setiap a, b ? R berlaku
(a + b) ? R .
2. Sifat asosiaif terhadap operasi +
Untuk setiap a, b, c ? R
berlaku
(a + b) + c = a + (b + c) .
3. Ada elemen identitas terhadap operasi +
Ada 0 ? R
sedemikian hingga untuk setiap
a
?
R
berlaku a + 0 = 0 + a = a .
4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi +
Untuk
setiap
elemen
a
?
R
dapat
ditemukan
(a
-¹
)? R
sedemikian
a
+
a
-¹
=
a
-1
+
a
=
0
.
5. Sifat komutatif terhadap operasi +
Untuk setiap a, b ? R berlaku a + b = b + a .
6. Sifat tertutup terhadap operasi *
Untuk setiap a, b ? R berlaku
(a * b) ? R .
|
|
11
7. Sifat asosiatif terhadap *
Untuk setiap a, b, c ? R
berlaku
(a * b) * c =
a
* b * c) .
(b * c) .
8. Sifat distributif operasi * terhadap +
Untuk
setiap
a, b, c ? R
berlaku
a
*
(b + c) = a * b + a * c
dan
(
a
+ b
)
*
c
=
a
*
c
+ b * c .
2.12 Field
Field
adalah
suatu
struktur
aljabar
dengan
dua
operasi biner
yaitu
“+” dan
“×”. Terhadap operasi + struktur aljabar itu merupakan grup abelian. Terhadap
operasi ×
struktur aljabar itu juga merupakan grup abelian tetapi dengan
mengecualikan angka unkes aditif, dan terhadap operasi × bersifat distributif kiri
dan distributif kanan terhadap +.
Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi
yang disajikan dengan
tanda + dan ×
merupakan suatu
ring
bila
dan hanya bila memenuhi sifat-sifat
berikut ini.
1. Sifat tertutup terhadap operasi +
Untuk setiap a, b ? R berlaku
(a + b) ? R .
2. Sifat asosiatif terhadap operasi +
Untuk setiap a, b, c ? R
berlaku (a + b) + c = a + (b + c) .
3. Ada elemen identitas terhadap operasi +
Ada 0 ? R
sedemikian hingga untuk setiap
a
?
R
berlaku a + 0 = 0 + a = a .
|
|
12
4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi +
Untuk
setiap
elemen
a
+
(
-
a
)
=
(
-
a
)
+
a
=
0
.
a
?
R
dapat
ditemukan
(
-
a
)
?
R
sedemikian
5. Sifat komutatif terhadap operasi +
Untuk setiap a, b ? R berlaku a + b = b + a .
6. Sifat tertutup terhadap operasi ×
Untuk setiap a, b ? (R - {0})
berlaku
(a + b) ? (R - {0}) .
7. Sifat asosiatif terhadap ×
Untuk setiap a, b, c ? (R - {0}) berlaku (a × b) × c = a × (b × c) .
8. Ada elemen identitas terhadap operasi ×
Ada
1
?
(R - {0})
sedemikian hingga
untuk setiap
a
?
(R - {0})
berlaku
a
×¹ = 1× a = a .
9. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi ×
Untuk
setiap
elemen
a
?
(R
-
{0})
dapat
ditemukan
(a
-¹
)? (R - {0})
sedemikian a × a
-¹
=
a
-1
×
a
=
1
.
10. Sifat komutatif terhadap operasi
×
Untuk setiap a, b ? (R - {0})
berlaku a × b = b × a .
11. Sifat distributif
×
terhadap +
Untuk
setiap
a, b, c
?
R
berlaku
(a + b)
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c
dan
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
.
|
 13
2.13 Daftar Cayley
Daftar Cayley adalah daftar
yang dibuat
untuk memperlihatkan operasi antar
dua elemen pada himpunan terbatas.
Berikut ini adalah beberapa contoh daftar Cayley.
•
Daftar Cayley operasi penjumlahan dengan modulo 6
Tabel 2.1 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6
+
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
•
Daftar Cayley operasi perkalian modulo 6
Tabel 2.2 Tabel Cayley Perkalian Modulo 6
×
6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
|
 14
Syarat-syarat ring dan field di dalam tabel Cayley dapat dilihat sebagai
berikut.
1. Tertutup bila elemen-elemen dalam tabel tidak mengandung elemen-elemendi
luar elemen-elemen himpunan. (lihat Tabel 2.1 dan Tabel 2.2)
2. Unit kesatuan kiri bila ada baris yang sama dengan baris teratas.
Tabel 2.3 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat unit kesatuan kiri
+
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
3. Unit kesatuan kanan bila ada kolom yang sama dengan kolom terkiri.
Tabel 2.4 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat unit kesatuan kanan
+
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
|
 15
4. Komutatif bila simetris terhadap diagonal utama.
Tabel 2.5 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat komutatif
+
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
5. Ada
invers
bila
ada
elemen pada
baris
dan
kolom
yang
menghasilkan
unit
kesatuan.
Tabel 2.6 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat invers
+
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
|
 16
Tabel 2.7 Tabel Cayley Perkalian Modulo 6 dengan syarat invers
×
6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
|