43
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
?
2
2
?
?
2
2
2
2
?
?
2
2
2
2
?
-
1
-
i
3
?
?
-
b
?
729b
2
+
108a
3
?
-
1
+
i
3
?
?
b
?
729b
2
+
108a
3
x
=
?
?3
?
?
+
-
?
?3
?
?
+
3
?
?
?
?
?
2
?
54
?
?
?
2
?
54
Dari penyelesaian tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu kurva elliptic
mempunyai akar–akar kembar pada sumbu x jika 729 b² + 108 a³ = 0 atau 4 a³ + 27 b² =
0. Bukti:
?
-
b
?
?
b
?
?
b
?
?
b
?
?
b
?
x1 =
?
3
?
-
?
3
?
= -
?
3
?
-
?
3
?
=
-2
?
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
1
+
i
3
??
-
b
?
?
-
1
-
i
3
??
b
?
x2
=
?
??
3
?
-
?
??
3
?
?
??
?
??
2
?
?
??
?
??
?
?
1
-
i
x
=
3
??
b
?
?
-
1
-
i
-
3
??
b
?
b
=
?
??
3
?
?
2
?
??
?
?
?
??
?
?
??
3
?
3
??
?
??
?
?
-
1
-
i
3
??
-
b
?
?
-
1
+
i
3
??
b
?
x3 =
?
??
3
?
-
?
??
3
?
?
??
?
??
2
?
?
??
?
??
?
?
1
+
i
x
=
3
??
b
?
?
-
1
+
i
-
3
??
b
?
b
=
?
??
3
?
?
3
?
??
?
?
?
??
?
?
??
3
?
3
??
?
??
?
Terlihat pada penyelesaian tersebut di
atas bahwa x2
=
x3. Sekarang akan dicari
gradien
garis
singgung
kurva
elliptic
pada
titik
yang
dibentuk
oleh
akar–akar
kembar
x2 =
x3
tersebut, pada penjabaran berikut ini.
•
4a
3
+
27b
2
=
0
4a
3
=
-27b
2
a
3
=
-
27b
2
4
 |