BAB2
LANDASAN TEORI
2.1 
Das11.r-dasar Ge-IGmbang Suar.a---
---- ---- -
Secara sederhana suara yang didengar adalah
getaran dari suatu obyek
yang
merambat
di
udara kemudian sampai di telinga.  
Sebelum dibahas
tentang bagaimana
pengclahan suara secara digital akan
lebih baik kalau dimengerti terlebih dahulu tentang
apa itu gelombang suara.
2.1.1 
Definisi Suara
Secara  fisis, 
suara
dapat 
diartikan
sebagai
penyimpangan 
tekanan,
pergeseran 
partikel  dalam 
medium  elastik 
seperti 
udara.     Pengertian 
ini  adalah
pengertian
suara
obyektif    
Secara
fisiologis,
suara
adalah
sensasi
pendengaran
yang
yang  disebabkan  penyimpangan
fisis  yang  dijelaskan
dalam  pengertian  diatas.    Ini
adalah suara
subyektifi
Dalam
penelitiatt
ini
suara
diasumsikan
sebagai settsasi
pettdengaratt
yattg
lewat  telinga  dan  timbul  karena  penyimpangan  tekanan 
udara.  Penyimpangan 
ini
biasanya
disebabkan
oleh
beberapa
benda
yang
bergetar,
rnisalnya
dawai
gitar 
yang
dipetik atau garpu tala yang dipukul sehingga mengeluarka,"l frekuensi tertentu.
Rambatan
gelombang
suara
disebabkan oleh
lapisan
perapatan
dan
perega.ttgan partikel-partikel 
udara 
yang 
bergerak 
ke 
arah 
luar, 
yaitu 
karetta
penyimpangan tekanan. Ini
sama
dengan
penyebaran
gelombang air  pada
permukaan
dari suatu
kolam pada
satu
titik
dimana
batu
dijaiuhkan. Partikel-partikel
udara
yang
meneruskan
gelombang suara tidak
berubah
posisi normalnya; mereka
hanya bergetar
7
  
,,,
'
'
8
disekitar 
posisi  kesetirnbangnya, 
yaitu 
posisi  pa.rt:kel bila
tidak 
ada
gelombang 
suara
.  yang
ditemskan.  Penyimpangan  tekanan
ditembahkan 
pada
tekanan
atmosfir 
yang
kira·
kira tunak
(steady)
dan
ditangkap
oleh
telinga.
(Doe!le,
1972,
p
14)
2.1.2
Frekuensi,
Amp!itudo
JmrJah
pergeseran
atau
osilasi
yang
dilakukan
sebuah
partikel
dalam
1
detik
disebutfrekuensi. 
Tiap
osilasi
yang
lengkap
disebut
satu
cycle. 
Satuan
frekuensi
adalah
hertz 
(Hz), 
yang  secara 
numerik 
sama 
dengan 
satu 
c-ycle
per 
detik 
(cps-cycle  per
second).
Suara 
terendah 
yang  dapat 
didengar 
(audible)
oleh 
telinga 
manusia
mendekati
20
Hz,
yang
berarti
20
cyele        
detik. Sebenarnya
suara yang
reru:lah
!ebih
dirasa.lcan sebagal 
getaran 
daripada
sebagai  suara. 
Suara
tertinggi  yang  dapat 
didengar
terga.'"lt>J.'lg dari banyak: faktor
seperti
lingkungumur, dan
banyak
faktor,
tetapi
tidak
pemah 
me!ebihi
20.000 
Hz.
Lain  hainya,
dengan  anjing  yang 
dapat 
mendengar
dari
40.000
Hz, kekelawar
bahkan
lebih 
80.000
Hz. 
Gambar
2.1
menjelaskan
frelk:uE,nsi dan amplitudo suatu gelon::bang.
;
;
'
'
.
'
1/\
II' 
II' 
"
t
l
w
\
I
i
;
]
6
t
t
\I
\J
\J
--
z
:If<
\}
\
t
&unbar 2.1Fre!meru;; dan
knpllmdo matu
GeEombamg Suara
  
9
Satu 
gerakan 
penuh 
gelombang   suara 
disebut 
satu 
cycle 
(putaran) 
yang
terdiri 
dari 
setengah   putaran 
pemampatan  
molukel 
udara 
diikuti   setengah  
putaran
penjernihan
molekul
udara.
Jika
digambarkan 
dalam
bentuk
grafik
atau
diubah
ke
dalam
bentuk
isyarat
listrik
dan
ditampilkan 
pada
layar
osiloskop 
maka
tinggi
gelombang 
dari
puncak
atas
ke
bawah
disebut
amp!itudo.
Amplituda
menyatakan
I
menentukan 
volume
(kuat
I
lemahnya)
suara.
W.lllkin besar
amplituda  maka
suara
akan
terdengar
lebih
keras.
2.1.3
Oktaf
Setiap 
kali
:frekuensi
suara 
berlipat 
dua, 
maka 
dapat 
dikatakan 
naik 
satu
oktaf. 
Dan 
setiap 
tarun  
hingga 
setengabnya,  
turun 
satu 
oktaf 
dan 
seterusnya. 
Jadi
interval
antara 
100    
dan
200
Hz
adalah
satu
oktaf,
dan
interval
antara  1.000
Hz
dan
2.000 
juga
satu
oktaf 
Jangkauan 
pendengaran
manusia
normal
(kondisi 
baik)
antara
20Hz sampai
20.000
Hz,
mencakup
tidak
!ebih
darl
10
oktaf
55 Hz
no
Hz
220Hz 
440Hz 
880Hz 
I76o Hz  
3520Hz 
7040Hz
Suara
dan
representasi 
isyarat
listriknya
pada
audio
mempllllyai
awal,
lama,
dan akhir;
keadaatmya
tergantung 
wakru.
Seperti
ketika
sehuah
isyarat
melewati 
bagian
pera!atan
audio,
yang
dapat
mendatangken
tunda
(delay).
Sepanjang
waktu
tunda
ini,
misalkan
sepersepuluh 
detik,
sama
untuk
semua
komponen,
untuk
semua
representasi
eli
:frekuensi tinggi  sebaik
frekuensi  rendah, 
hal
ini
tidak
menjadi  persoalan.  Namun, 
jika
  
10
waktu
tunda
bervariasi
sesuai
dengan
frekuensi
isya.rat, maka
dikatakan 
perbedaan 
fasa
atau
fasa tunda.
2.1.5 
Docibe!(oB)
Pada
pembicaraan
tentang
perangkat
audio
seperti:
penguat,
pengeras
suam
dan
sebagainya 
mn
selalu
ditemukan
satuan
tegangan 
(lV
=
1000
mV),
daya
(lW
=
JOOO 
mW). 
Untuk 
menyatakan 
beberapa 
:!>..ubungan  maka 
dalam 
dunia 
audio
menggunakan 
suatu 
satuan  perjanjian 
yang 
dinamakan 
"decibel"
atau 
"dB". 
Decibel
sendiri 
tidak  seeara  klmsus  merupakan  sejumlah  tetap 
tegangan  atan 
satuan 
tekanan.
Lebih
merupakan
perjanjian
perhandingan
tekanan,
mirip
seperti
pada
tatabahasa 
seperti
lipat
dua (double),
lipat
tiga (tripple),
setengah,
seperempat
dan
seterusnya
:U.5.1Decibel
(Tegangan) dan  Decibel
(Daya)
Dalam
hubungannya
dB
dengan
tegangan
(Volt)
adalah
sebagai
berikut
:
dB
volt=
20
log (Vo : V;)
V
0
=
Tegangan Output
(Volt)
V;
=
Tegangan Input (Volt)
pers. 2.1
Setiap
sebuah
Voltase
Output
berlipat
dua
dari
voltase
input
malta
dapat
dikatakan
naik
6
dB.
Jw.a
metipat
dua
iagi
atau
me!ipat
empat,
dikatakan  naik
6
dB
+
6
dB= 12
dB.
Dengan
pemikiran
yang sama- 6 dB berarti
setengar1, ·12  dB
berarti
seperempat.
Sedar.gkan
hubungan
dB
dengan
daya (Watt)
adalah
sebagai
berikut:
dB Voh =
10 log
(Po
:Pi)
Po=
Power Output
(Volt)
P, = Power
Inp<rt (Volt)
pers.
2.2
  
11
Jika
menggunakan
deeibel umuk
memba11dingkan
kuantitas daya,
terdapat
perbedaan
dengan
membandingkan decibel untuk kuantitas
tegangan. Untuk
daya
ouput 
yang
me!ipat dua
dari
daya inputnya dikatakan naik 3 dB
dan
jika melipat
dua
lagi atau
melipat empat,
dikatakan naik
6
dB.
Sedangkan
-
3
dB
berarti setengah, -6 dB
berarti
seperempat. Ketika menyatakan ting.lcat watt, decibel sering disingkat
dBW.
2.2
Toorema
Sampling
<ian. Aliasing
Dalam mengkonversi
gelombang
suara menjadi
informasi
digital ak:an
dikenal
dengan istilah
pencuplikan (sampling). 
Dan
yang menjadi persoalan penting dalam
proses
pencuplikan
itu, adalah berapa
banyak sample
yang
diambil tiap detiknya karena,
hal
tersebut
berpengaru.h pada kejemihan
suara
yang
dlbentuk kembali.
Pencuplikan
(sampling) 
itu sendiri berarti pengambilan besaran tegangan
listrik
seca.ra periodik yang
kemudian diubah
menjadi
deretan-deretan
nilal
digital
menjadi satu rangk:aiarr informasi digitaL
Format yang paling banyak digunakan untuk merepresentasikan
sinya!suara
seeara
digital
adalah Pulse
Code
Modulation.  
Pada
umumnya, sinyal suara
diubah
menjadi deretan l'llal (PCM) seperti di bawah inL
m
Sebagai contoh akan digunak:an
sinyal sinus yar,g sederbana.   Seperti sebuah
gelombang yang dibangkitkan olehobyek
yang bergetar. Garis yang terbentang
di
tengah gambar 2-3 merepresentasikan
tekanan udara
yang
normaL  Bagian
gelombang balk kurv-a sebe!ah  atas maupun
k"U!Va
di bawah
garis tengah tersebut
merepresentasikan perubahan tekanan
udara baik secara positif maupun negatif.
  
          1
12
\
1\
I
'\
'\
I
\
.I
\/
\J
\
\
·-
<
Time-
Berikutnya
sebuah
microphone
diguna.kan
untuk
mengkonversi
geiombang  suara
(di
udara)
menjadi  sinyal-sinyal
!i!l'..rik.
Besar
tegangan  yang
dihasilkan 
oleh
microphone
berkisar
±1 volt
seperti dalam
gambar
2-4.
+i.O
+0.5
0
-0.5
I
_J.
-1.0
Time
------·---)»
Grunbar 2.4
Sinyal Listrik
Tegangan
sinyallistrik
analog
dikonversikan
menjadi
sedereta.tl
nilai
o!eh
sebuah
perar1gkat 
ya.ng
biasa
disebut
analog-to-digital converter.
Gambar 
2.5
dibawah
ini   menga\'11barkan
hasil 
pengkonversi  
16 
bit 
dari 
analog  
ke 
digital 
yang
mempunyai
keluaran
integers
dari
-32.768 ke
+32.767.
  
   .    1 \
I
1\
f\
\
\
\J
\
I
·\
                                                                                 
'
Gambar 2.5 Analog-to-Digital Convene.-
Output
+32,767
+16,383
0
-16,384
-32,768
Karena
nilai tak
terhingga
dari
data
masukan
tidak
dapat
direkam
dan
dimhah
menjadi bentuk karakter dari sinyal,
maka contoh atau
sample 
pada gambar
2.6
dibawah
ini
mengambil
intervai
yang
biasa
digunakan. Nilai
dari
oontoh
atau
sample 
yang diambil setiap
deti.k
dinamakan
sampling  rate.  
Pada gambar
2.6
dibawah ini dapat dilihat  43 sampies yang
telah
diambil.
1
43
+32,767
+16,383
0
-16,384
-32,768
Gambu 2.6 Cupliklm
s!uya!yang
diam!Jil
Hasil
dari ke
43
samples 
mewakili
posisi
gelombang
pada
setiap
intervalnya
ditunjuka.1. pada gambar 2.7 dibawah ini.
  
         +
14
-
:--T
rd
ed
Va
lue     
,
43
+32,767
+16,383
0
-16,384
-32,768
Komputer   kemudian 
dapat   membangun 
ulang   gelombang   sinyal   dengan
menghubungkan titik-titik  cuplikan
data
yang
didapat.
Basil  dari  gelombang
sinyal yang telah dihubungkan dapat dil!hat 
pada 
ga.t-nbar 2.8 seperti dibawah
iili.
:
II
+32,767
+16,383
rd
ed 
I
Va
Ill
iu
i
-+-
43
0
-16,384
-32,768
Dapat
disimpulkan  bahwa
teijadi
perbedaan
antara
samples
yang
asli
dengan
hasil dari
pembentukan
ulang :
a.   Ni!ai yang
dibangkitkan
o!eh
analog-to-digital
converter
ada!ah
nilai
integers
b.  
Keaku:ratan
hasil
bentuk
gelombang
tergantung
dari
banyaknya nilai
dari
samples
yang
diambil.
  
14
  
15
Pada 
umumnya 
t>.:mya  nilai  angka 
yang
terbatas   
yang  dapat 
ditampilkan
pada
ge!ambang
analog
dengan
keakuratan 
yang
terbatas.
Hal
yang
penting 
yang
hams
diingat
bahwa
kebanyakan
perangkat
keras
audio
tidak
memproduksi
gelombang
dengan
eara
pengirirnan titik-titik
data
seeara
linier.
(seperti
dalam
gambar
2.8). 
Karakteristik
electron.ik
dari
peralatan
digit£4/-to-analog
converter  adalah
perangkat 
yang 
mengubah
atau 
mengkonversi 
titik-titik 
data    ke
persamaan 
level 
tegangaP.,
dan 
pada 
unmmnya
dihasilkan
ge!ombang
dengan
bentuk
kurva
yang
cukup
halus.
Dalam 
melakc..J.kan 
pencuplikan 
(sampling)   sehlngga
dihasilkan 
suara 
yang
jernih 
maka.,
frek-uensi
pencuplikan 
(sampling)
hams
dua
kali
atau
lebih
dari 
frekuensi
terbcsar 
sinyal 
yang 
akan  disampling. 
Hal 
ini 
diindikasika11
dalam  Nyquist
sampling
theorem
bahwa
suatu
sinyal
analog
dapat
disamp!ing
dertgart
balk
bi!a
frekuensinya
(h)
tidak
lebih
dari
setengah
frekuensi
sampling
if,).
Pemyataan 
ini
dapat  dituliskan 
da!am
persamaan
matematika
sebagai
berilrut :
/a
::;;  
0.5/s
pers. 2.3
Untuk
frekuensi 
sampling 
yang
kurang
dari
dua
kali
frekuen.si
aslinya 
maka
yang
te!jadi
adalah
sinyal
baru
(yang
terbentuk
dari
sample-sample 
yang
diberikan) 
yang
tidak
sama
dengan.
sinyai
aslinya
(Currington,
1995).
Hal
ini
mengakibatkan 
infurmasi
yang 
terkandung      
dalam 
sinya! analog 
tidak 
lengkap  sehlngga 
mengaburkan 
sinyal
aslicya. 
Tenentuknya
sinyal
bam  ini
dinamakan 
efek
Aliasing.
Efek
aliaSing
ini
dapat
dihindari
dengan
menerapkan
teorema
Nyquist
tersebut
(pers.
2.3).
  
  
    :
16
3
2
"
a
"
'
j
d.
Analog frequen y"' 0.95 of sampling
rate
I
·
"" 
0
<
-I 
·
\
Time
(fir
Silmple number)
Pada
gambar
2.9
memperlihatkan
frekuensi
yang
terbentuk
dari
efek
aliasing.
Dari
gambar
2.9
di
atas
terlihat
bahwa
frekuensi
sinyal
analog
lebih
besar
dari
setengah
frekuensi
sampling.
Sample
yang
didapat
berupa
kotak
kecil
berwama
hitam
membenruk
sinyal
analog
baru
yang
tidak
sernpa
dengan
sinyal
analog
aslinya,
dalam
hal
ini
adalah
frekuensi
sinyal
analog
yang
baru
memi!i!d
frekuensi
diantara
frekuensi
terendah
sampai
dengan 
frekuensi 
tertinggi 
sinyal  analog  aslinya.
Efek 
aliasing
dapat  dilihat 
langsung
pada
domain
waktu
seperti
ga,'!lbar 2.9,
juga
dapat
dilihat
pada
domain
frekuensL
Pada
domain
frekuensi,
efek
aliasing 
diperlihatkan 
dengan
speklrum  yang
tw11pang
tindih
seperti
terlihat
pada
gambar
2.10.
-3-j------,,---,----,----,---:
G
Gambar :Z.ln Efek
P.Jiasing
lliltom dnmain frekuensi  (frekuensi domain)
  
17
2.3 Fast Fimrier Transform
(FFT)
Transformasi 
Fourier
mengkonversi
informasi  dalam
domain 
wak:tu
kedalam
domain 
frelruensi. 
Hal  tersebut 
amatlah 
penting 
dalam 
penganalisaan   dalam 
bidang
antara 
lain 
telekomunikas
speech,
pemrosesan 
sinyal 
dan 
pemrosesan 
citra. 
Dalam
sistem 
wak:tu
diskrit,
transformasi 
fourier  yang  dipakai 
adalah 
DFT 
(Diskrit Fourier
Transfonn).
Dikarenakan
DFT
dalam
proses
perhitungannya
amatiah
rumit, maka
sangat
sedikit 
aplikasi
yang 
mengimplernentasikan 
DFT,  bahkan 
dalam 
komputer-komputer
modem 
metoda
DFT 
ini
jara.'1g
digunakan. 
Fa:.t
Fourier
Tran:sform
(FFT) 
mempakan
algoritma
yang
efisien
untuk
mengimp!ementasikan
DFT
dan
a!goritma
ini
amat
banyak
digunakan
dalam
berbagai
area
pemrosesan
sinyal
digital.
Tetapi
untuk
dapat
memahami 
bagaimana
menggunakan 
FFT
dalam
aplikasi
yang
ada terlebih
dahulu
hams
dimengerti
apa
itu
DFT
dan
bagaimana
mengimp!ementasikannya.
:z.::U
Discrete Fourier
Trantiform
(:0
FT)
2.:U.l
Format
dan Notasi Real DFT
Seperti  
terlihat  
pada 
gambar  
2.11,  
Discrete 
Fourier   Transform 
(DFT)
merubah 
input 
N-point 
menjadi
dua  sinyal  output 
N/2 
+
point.  Sinyal 
input 
biasa
disebut   berada 
dalam 
domain   waktu 
(time  domain),
karena  
biasanya  
sinyal  
yang
memasuki 
DFT 
disusun 
dari
cupli..kan-cuplikan
(sample-sample}
berdasarkan 
interval
waktu
tertentu.
Sedangkan
istilah
domain
frekuensi
(frequency domain)
digunakan
untuk
menggambarkan
amplituda  da.-i gelomb!nlg  sinus
dan
kosinus
yang
merupakan  pecahan
dad
sinyal
input
pada
DFT.
  
18
Domain 
frekuensi 
dan
domain 
wak:tu pada
dasarnya 
mengandung 
inforrnasi
_          yang 
sama, 
hanya 
saja 
bentuknya 
berbeda. 
Jika
diketahui 
salah 
satunya 
maka 
yang
lainnya  
dapat  
dihitung. 
Jika  
diketahui  
domain   waktu  
dari   suatu  
sinyal,   proses
perhitungan
untuk
menjadikan
domain
frekuensi
disebut
dekomposisi,
analisis,forward
DFT 
atau
biasa
disebut 
DFT.
Jika
diketahui
domain  frekuensi, 
proses 
perhitungannya
disebut dengan
sintesis
atau inverse
DFT
Time
Domain 
Frequency  Domain
x[
]
ReX[
I
lmX[
J
Liltlt!ltl
rrtlllliib
0
Nil
()
N/2
NJl+l
es
Ni2+1 
SiiJUp-1cs
(cQril:e
hm't' 
mftfr!ir.rtk.t)
Mm:
;ml't:'
WJPiillll.!e,,-J
collective!y referred
tc
as
xt
l
Gamba2.11 Fermat
dan
New!dar!
Red
DFI'
Ba.."lyaknya
cup!ikan
dalarn
domain 
waktu
biasa
direpresentasikan 
dengan
variabe1
N,
dimana
N
adalah
bilangan
integer
positif
dan
biasanya
kuadrat
dari
dua
(2")
seperti
128,
256,
512,
l024,
dan
seterusnya.
Ada
dua
hal
yang  menjadi 
latar
belakang
kenapa
digwnakan
kuadrat
dari dua
ya.'tu :
Penyimpanan data
digital
dilakukan
secara
pengaiamatan
binary (binary
addressing).
"
Algoritma 
yang 
sangat 
efisien 
untuk 
menghitung 
DFT 
yaitu 
FFT  (Fast
Fourier
Transform)
biasanya
dioperasikan dengan
N, dimana
N
adalah
kuadrat
dari dua
(2n)_
Pada
banyak
kasus,
cuplikan 
diambil  mulai
dari
0
sampai
N
-
l  bukan
dimulai
dari  1
sampaiN.
  
19
  
20
Pada 
notasi 
standar  DSi' 
(Digital
Signal
Processing),
untuk
merepresentasikan
sinyal
dalam
domain
waktu
digunakan
burufkecil
seperti
x[],y[],
dan
z[],
sedangkan 
untuk  sinyal 
dalam 
domain 
frekuensi 
direpresentasikan
dengan 
huruf
besar seperti
X[], Y[],
dan
ZO
Jika
terdapat 
sinyal
input 
dalam
domain 
waktu 
yaitu 
x[] 
sebanyak 
N-point
Maim
domain
frekuensi
untuk
sinyal
ini
adalah
X[] 
yang
terdiri
dari
dua
bagian
dimana
masing-masing
bagian
merupakan
array
dari
cup!ikan
sebanyak
N/2
+
l. Bagian
pertama
disebut 
dengan
bagian
real
dari
X[]
dan
biasa
ditu!is
dengan  ReX[],
sedangkan 
bagian
kedua 
disebut 
deng&'l bagi&'l
imajiner 
dari
X[]
da.'l
biasa 
ditulis 
dengan 
ImX[l.
Nilai
dalam 
ReX[]
adalah 
nilai
amplituda 
dari
getombang 
kosinus, 
sedangkan 
ImX[]
berisi
nilai amplituda
dari
gelombang
sinus.
2.3.1.2     
Fungsi 
Dasa!!" dari
DFT
Gelombang 
sinus
dan
kosinus
yang
digunakan  dalam
DFT
umumnya 
disebut
dengan
fungsi
dasar
DFT
(DFT basic fimction).
Dengan
kata
lain
keluaran  DFT
adalah
sebuah
himpunan nilai-nilai
yang
merepresentasikan amplitudo-amplitudo.
Jika 
diberikan 
nilai
amplituda 
(pada
domain 
frekuensi) 
ke
gelombang 
sinus
dan 
kcsinus   (yang   merupakan   f,mgsi 
dasar)   secara 
tepat   hasilnya 
adalah  
sebuah
himpunan
gelombang
sinus
dan
kosinus
yang
ter-ska!a
dimana,
bila
dijumlahkan
antam
keduanya  akan 
menghasi!kan 
bentuk  sinyal 
dalarn
domain 
wak:tu. Fungsi 
dasar  DFT
dibangkitkan
dari persamaan
berikut
:
c.
[l']c
cos(2rr:ki
IN)
s
.[i]"'
sin(
2rr:ki IN)
pers. 2.4
  
20
dimana
ck[J
adalah
gelombang 
kosinus
yang
nilai
amplitudonya
berada
dalam
ReX[k],
dan
sk[] 
adalah
gelombang
sinus
yang
nilai amplitudonya 
berada
dalam
ImX[kJ_
k
sei1diri merupakan 
parameter  frekuensi  yang
menunjukkan
berapa
sik!us
yang
te!jadi
untuk
menyelesaikan
N-point
dari
sinyal. Untuk
lebih
jelas
perbatikan
gambar
2_12_ 
c2fJ
adalah
gel.ombang kosinus
yar.g
membuat
dua
siklus untuk
menyelesaikan N-point 
dari
sinyat
               
-1+---li----+--+----1
2.3.1.3
Analisis, Menghitung
Forw(Ud
DFT
Perhitungan
DFT
dapat
diselesaikan
dengan tiga
cara
yaitu
;
simultaneous
equations,
korelasi 
dan 
terakhir 
dengan 
FFT 
(Fast  Fourier  Tran.ifonn)_
Pada 
tugas
skripsi
ini
hanya
akan
dibahas
algoritma
FFT
untuk
menyelesaikan
DFT_
Lebih
lengkap
tentang
algoritma. FFT
ini dapat
dilihat
pada bagian
2.3.4 _
2.:3.1.3.1
li''<erhitungan DFT
untuk Deret
Real2N-
Titik
Algoritma   DFT   dirancang  
untuk  
melakukan  
perka!ian 
dan  
penambahan
kompleks 
walaupun 
inputnya 
mungkin 
bemiial 
rea!. 
Alasan 
dasar 
untuk 
situasi 
ini
adalah
karena
faktor-faktor fasenya
(WN)
kompleks.
Perhitungan 
yang
lebih
efisien
bisa
  
21
l
didapatkar.. dengan
membentuk  deret
bernilai-kompleks
dari
deret
bernilai-real 
sebelum
.
dihitung  
oleh 
DFT. 
Dengan   demikian,   hanya 
diper!ukan   satu   DFT   N-titik 
untuk
menghitung
deret
bernilai-real
dengan
2N-titik.
Anggap 
input 
DFT 
adalah 
g(n)
yang
merupakan 
deret 
bemilai-real
dengan
2N-titik. 
Deret 
g(.'1) 
dipecahkan 
menjadi 
dua 
deret 
(berindeks 
genap 
dan 
berindeks
ganji!), yair.x
x,.(n)= g(2n)
pers.
2.5
dar.
X1
(n)= g(2n+
1)
pers.
2.6
dengan  
n=O,I,...,N 
Dua 
deret 
ini
digabungkan 
(di-packing)
menjadi 
satu 
deret
kompleks,
yaitu:
x{n)=x,(n)+ jx
2
(n) 
n=O,l,...,N
-1
pers.
2.7
Sifat
operasi
DFT
ada!ah
iinier
dan
karena
itu DFT
dati
x(n)
dapat
dinyatak:an sebagai:
X(k)=X,(k)+ jX
2
(k) 
k=O,I,...,N-1 
pers.
2.8
Deret
x1(n)
dan
x2(n)
da;;at dinyatakan
dari
segi
x(n},
sebagai
berikut:
x;(n)
x(n)+x"(n)
2
pers.
2.9
1
)-
x(n)-x*(n)
X,l(l  -
2j 
pers.
2.10
Sehingga
DFT
dari
XJ(n) danxJ(n)
adalah
X
1
(k)={DFT[x(n)]+DFT{x*(n))}
pers.
2.11
X
2
(k)= Zj
{DFT[x(n)j-DFT[x*(n)]}
pers.
2.12
  
22
DJ<T dari x*(n) adalahX*(N-k), oleh
karena
itu
XJ{k) danX 2(k)
dapat
ditulis:
x,(k).!.[x(k)+ X*(N k)]
2
pers.
2.13
x,(k)=-f:[x(k)-- X*(N
-k)]
"-}
Pers.
2.14
Deret  
berindeks  
genap  
XJ(k)   menjadi 
komponen  
real   sedangkan 
deret
berindeks
ganjil 
X2(k) 
rnenjadi
komponen  imajiner pada
deret  kompleks
yang
menjadi
input
untuk
DFT
2-titik
pada unpacking.
DFT
2N-titik
dari
g(n)
bisa
dinyatakan
dari
segi
kedua
DFT
N-titik
X1(k)
dan
X2(k). Untukmembentuk (unpacking}
G(k)
d&-iXJ(k)
danX?(k},
dila.lrukan:
                         
pers.
2.15
N-! 
N-1
G(k)=
L;x,(n)W;' +W,',L;x,(n)W:;'
pers.
2.16
Sehingga
dengan
memanfaatka.'l sifat
simetri
dan
keperiodikan  faktor
fase Wl-1
,
                                         
pers.
2.17
                                 pers.
2.18
G(N -1)
G(N) 
G(:ZN-1)
Gambar 2.13
Unpawld11g
  
  
23
=- -­
:t3.1A     Sintesis,Menghit11ng inverse
DFT
Persarnaan 
sintesis 
(untuk  
menghitung 
inverse 
DFT/  IDF1) 
dapat 
ditulis
sebagai
berikut
:
N!1 
N/1
x
]=
:Z::ReX[k]oos(2rt.ki/N)+ _l)mX[k]sm(2rt.ki/N)
pez;s. 2.19
Persamaan
di
atas
menggambarkan
bahwa
sinyal
N-point,
x[i], dapat
dibuat
dengan
penjumlahan 
N/2
+
1
ge!ombang 
sinus 
dan  N/2 
+
1
gelombang 
kosinus.  Persamaan
sintesis  ini
hakikatnya  adalah 
menga!ikan  amplituda 
(ya.;1g terletak 
dalam 
IrnX!k]
dan
ReX[k])
dengan
fungsi
dasar
(sm(27dd/J.l)
dan
oos(27dd/N))
untuk
membuat 
sekumpulan
gelornba11g
sinus
dan
kosi!lUs ter-skala. 
Penambahan
keduanya 
(gelombang
sinus 
dan
kosinus
yang ter-skala)) menghasilkan
sinyal
dalam
domain
V.'liktu, x[i].
Pada
pers.
2.20,
terlihat 
ReXlk]danlmX[k] bukannya  ReX[k]
dan
IrnX[kJ.
Hal ini.
dikarenakan  amplituda 
yang dibutuh.lrn.n
untuk
operasi 
sintesis 
berbeda
dengan
domain
frekuensi
dari
sinyal.
Walaupun
demikian
tidak
sulit
untuk
melakukan
konversi,
hanya
dipedukan normalisasi
sederhana,
seperti
berikut
:
-r
Rexrk]
ReXLkJ=---- •­
N/2
·
Im
-
Xe
1c
,]
ImX[k]
N/2
pers. 2.20
keeuali
untuk
dua
kasus
khusus
yaltu
ReX[OJ
=
ReX[O]
N
ReXJ:N /2]
=
ReX[N /2]
N
pers. 2.21
  
           l
.
i
24
Jadi, terdapat dua iangkah untuk mencari hubungan domain
waktu
dari domain frekuensi
yaitu:
"'
Keta. ui
terlebih
dahulu
amplituda 
dari
gelombang
kosinus 
dan
smus
(
Re
X[kJ
dan Im
X[k])
@
Se!anjutnya,
hltung
ReX[k
]dan
Im
X[k]
nya
dengan
rumus
konversi
pada
pers.
2.20
atau
pers.
2.21 (hila
termasuk
ke dalam kasus khusus}
Perh<tikan gambar 2.14 berikut
,
Time Domain
.
'   I
a.
!h
tlm;,domain s! ;no! 
j
i
Frequency Demain
I!>.
bX[] (mellequencyd
molnl 
I
•o
_i
!
;;Q
'
l
I
'
31}
l"
I
I
'
0
I
S
ll
!6
                                                            l'mqru>tl>cy s;nr.p!mmber
,;
s
12'
!6
F'r uJncy
sa.-np!e ID:;.'Tibe
Gan:!IYar 2.14lnverse DFT
  
25
1
2.3.1.4.1  Menghitamg IDFT Dengan
Menggunakan DFT
Rumus
analisis
dan
sintesis
DFT
didefinisikan:
N-1
_2-,r  
k
X(k)= :
·
Lx(n)e-
"N"
no-=G,l,...,N
-l
pers.
2.22
1
N-1
-
.1rt  
fr
x(n)=-:LX(k)/'N" 
n
= O,l,...,N -1
N,""
pers.
2.23
Bi!a
rumus 
diatas
dipecahkan
menjadi 
komponen 
real
dan 
imajiner,
malca
X(k) dan x(n) menjadi:
Dilihat
dari 
penurunan
rumus diatas,
mFT  dari suatu
deret 
bisa 
divitung
dengan
menggunaka.ll
algoritma DFT,
yaitu:
                                         
pers.
2.24
dimana
notasi
'*'
menunjukkan akar
sekawan
(konjugasi kompleks). Rumus
diatas bisa
digambarkan:
I
I
f---x(n)
X(k)
11*
'--
OFT
[!* 
I
'
N
  
26
Jika 
X(k)
adalah 
deret 
pemilai-reai (X(k)'
=
X(k)) dan X(k)  ada!ah
fungsi
genap  (X(k}
=
X(-k)) 
rnaka
DFT 
dari 
X(k) 
beroJlai  real
sehingga 
tidak 
ada 
operasi
konjugasi
kompleks
yang di!akukar:
                                 
pers.
2
25
Bila
menggunakan 
algoritma 
DFT,  Pers.  224
untuk 
X(k) 
yang 
merupakan
fungsi
genap
dan
bernilai-real bisa disederhanakan
menjadi:
l
N·l
x(n)=-:LX(k)w;•
N,
X(l<) 
DFT
1--X(n)
1
N
2.3.2 
Sifat-Sifat
DFT
Sifat-sifat
dari
Transforw.asi
Fourier
Diskrit
antara
lain:
pers.
2.26
2.:3.2.1
Periodik
ftka 
x(n)
dan 
X(k) adalah
suatu
pasangan DFT
N-titik
dengan 
0,;;,
n
s
N
-1
dan
OsksN-l,maka·
x(n+N) =x(n)
untuk
seluruh
n
pers. 2.27
X(k+N)= X(k) untukseluruh k
pers. 2.28
Sifat
keperiodikan
ini
mengikuti
sifat
keperiodikan
dari
eksponensial
kompleks.
  
27
·COSJ
)
2.3.2.2
Une.mritas
Jika
dan
kemudia11 untuk
setiap
konstanta
a1 dan
a
2
bernilai
real atau bemilai
kompleks,
maka
:
pers. 2.29
2.3.2.3 
Sifat Simetri DFT
dari
Barisan Bemilai Real
Jika
deret 
x(n) real, ( x
1
(n)
=
0
),
maka
x(f;)= x·(N -k)
pers. 2.30
atau
                                                
pers. 2.31
LX(k)=-L.X(N-k)
pers.
2.32
DFT
dari
deret
real
menghasi!kan
deret
frekuensi
real
yang
merupakan  deret
genap
dan-
deret frekuensi
imajiner
yang
merupakan
deret
ganjil.
Jika
x(n) 
deret
yang
bernilai
real
dan
genap,
yakn
x(n)= x(N -n)
maka
DFT
dari 
x(n)
akan
menghasilkall 
X,(k
)=
0
sehingga
DFT
menjadi
1
)
x()
(2·'ff·k·n\
X
._k  
=
;t_, 
n
"""
\.
N
pers.
2.33
  
28
yang
bernilai
real
dan
genap. Karena 
XAk)=
0, IDFT
merJadi
X:
{
-(1
'J
=-,
1
t...
X
.
(k)
·C
f2·7!:·k
-
·n\)
pers. 2.34
Nk=O
N
Jika
x(n) 
deret
yang
bemilai
real
dan ganJil,
yakni,
x(n)=-x(N-n)
makaDFT
dari
x:(n)
a.l;:an
menghasilkan 
XAk)"'
0
sehinggaDFT
menjadi
yang
bernilai
imajiner
dan
ganjil.
Karena 
X
11
(k)=
0, IDFT
menjadi
2.3.2.4
Sifat Konjngasi
Kompleks
Jika
x(n)
·
_..
X(k)
maka
pers_
2.35
pers.
2.36
pers.
2.37
  
     N
29
2.3.2.5
Pembalikan
Wakru Suatu Barisan
Jika
x(n)
<
DX: (k)
maka
x((-n))N
c
x(N-n) 
<!
DFT
"'
X((-k)N
=
X(N-k)
pers.
2.38
2.3.2.6 
Konvolusi Melingkar
Jika
dan
maka konvolusi melingkar dari deret x
1
(n)  dan x
2
(n):
pers. 2.39
2.3.2.7
Perkalian
Dua Barisan
Jike
dar1
  
30
2
.
N
N
N
-
N
maka
pers.
2.4D
1\.fasalah yang
dih.adapi
dalam 
menjala11kan
DFT 
adalah 
dalam 
menghltung
sederetan
N
buah bi!angan
kompleks
hk
(pers.
2.41)
untuk
mengbasilkan  deret  
Hn
(pers.
2.42)
yang
berisi
N
buah
bilangan
kompleks.
Dapat
dilihat
bahwa
untuk
setiap
harga
k,
DFT
akan
melakukan
N
buah
perkalian
bilangan
kompleks 
(
4N buah
bilangan
perkaiian
real)
dan
N-l  buah
penjumlahan 
bilangan
kompleks
(4]\l-2 buah
penjumlahan
bi!angan
real).
Sehingga 
untuk
menghitung 
keseluruhan
N
buah
data,
akan
diperlukan 
!.f buah
perkalian
kompleks
dan
N2
-N
buah
penjumlaha.'l kompleks.  Perhitungan  DFT
ini
sangat
tidak
efisien, 
karena
tidak
memanfaatkan  sifat
simetrik
(pers.
2.43)
dan
periodik
(pers.
2.44)
dari faktor
phasa
W;v 
=l-
%
.
h,
""h(kli),
dnnana n
=
--,...,--
2
2
Sifat
simetrik: 
W
n+N/,.
-
-W"
pers.
2.41
pers.
2.42
pers.
2.43
Sifat
Periodik: 
                                                pers. 2.44
Aigoritma 
yang 
memanfaatkan 
kedua 
sifat 
ini
dikenal 
dengan 
nama 
Aigoritma 
Fast
Fourier
Transfonn.
  
3!
e
'
pers.
2.46
2.3.4 
Fast Four'.er Transform
(FFT)
2.3.4.1
FFT  dengan
algoritma Radix-2
Secant  mendasar,
kesulitan
DFT
ada!ah
perhitungan  terhadap 
sederetan 
X(k)
yang
bernilai
kompleks
yang
dihasi!kan
dari
sederetan
x(n)
yang
juga
bernilai
kompleks
seperti
ter!ihat
pada persamaan
DFT
berikut
:
N t
X(k)=
l:,x(n)·e-F"''"'•kfN
OsksN-1
"""
pers.
2.45
Untuk 
menyederhanakan 
penulisan 
persamaan 
DFT 
di
atas,
biasanya 
didefinisikan
faktor
phasa
WN
yar,g berniiai
kompleks
dimana
:
TTT
-j2·n·n-J:!N
rrN--
Schingga
pers.
2.45
dapat
dituiis
kembali
menjadi
:
N-1
X(k)=
l:,x(n)·w;·•
"""
pers.
2.47
Sebagai 
konsekuensi 
dad 
persamaan 
di
atas,
hila
dilakukan 
perhitungan 
untuk 
setiap
nilai 
X(k)
(sebanyak 
kaii) 
secara 
langsung 
maka.
dibutuhkan  
perkalian 
kompleks
sebanyak
N² dan
penjumlahan
kompleks
sebanyak
t.f
-N.
Perhitungan
secant 
langsung 
seperti 
ini
tidaklah 
efisien 
karena 
tidak
memanfaatkan 
sifat 
simetri
dan
sifat
periodik:
dari
DFT.
Perl:-titungan
DFT 
yang
memanfaatkan
kedua
sifat
tersebut
secara
kolektif
di.nrunakan
FFT.
Salah
satu
algoritma
untuk
komputasi
FFT
yang
memanfu.atkan kedua
sifat
i.Pj adalah
algoritma
FFT
radix-2.
Dalam
skripsi
ini
digunakan
algoritma
FFT
radix-2
tersebut.
Algorit1na FFT  radix-2
dikembangkan 
dengan 
pendekatan 
devide-and-conquer,
suatu 
pendekatan 
yang
banyak 
digunakan 
dalam 
perhitungan-perhituP.gan 
pemrosesan
  
    -
3
X(O)
X(L} 
...
I
j
I
X(l) 
'
XrL+l) 
!
".
X((M·l}{L+l))
I
...
'
;
X(L-1)
l
...
X(LM-1)
]
I
I
sinyal 
digital. 
Pendekatan 
devide-and-conquer 
ini 
memecah   DFT 
N-titik 
ke 
dalam
beberapa
DFT
yang
lebih
kecil
untuk
diselesaikan.
Input  dan
output 
DFT  biasa
disirnpan
da!am
suatu  array  dua  dimensdimana
da!am penempatan
input atau
outputnya 
bisa
berorientasi 
kolom 
(column-wise) atau
berorientasi  
baris  (row-wise).
Bila 
terdapat 
N-titik 
dengan 
N
adalah 
bilangan
integer
yang dapat
difaktorkan
menjadi
L
dan M atau
dapat
ditulis
sebagai
berikut
:
N
LM
Ma.l{a  indeks
yang 
menunjuk 
input
atau 
output 
ditulis 
dengan 
n,
indeks 
yang
menunjuk
kolom (misalkan saja)
l
dan indeks yang menunjuk baris
m.
mak:a array yang
dapat
dibentuk
sebagai
berikut
:
m
=
indeks baris
0
l
a
0
.9
l
...
M-1
X((. ·l)L)
I
I
.ri
-
II
L-1
Xf2f.-ll
Gll!mbar 2.17
Array
Dua
Dimens!Berorienwi Kolom (Column-WKSe)
m
=
mdeks baris
0
l
]
I
I
...
!
M
-
i
-i
.
"0
s
ll
()
L-1
X(O)
}{(M)
.I
i
I
'
J
X((L-l)M)
'
X(l)
X(M+l)
i
I
... 
X(M-1)
... 
X(2M-1) 
i
... 
I
I
X((L-l)M+l)  I
... 
X(L -l}
Gambar :2.18 Array Dua
mme11si
Berorientasi Baris (Row-Wise)
Dengan 
demikian,   pendekatan 
devide-and-conquer 
ini 
dapat   dipakai 
bila 
N
bukan
bilangan
prima_
Algoritma
FFT
radix-2 adalah
perhitungan
terhadap
DFT
N-titik
dimana  N
=
r• ,
r
adalah 
bilangan 
radix
dan 
dalam  algoritma 
ini 
bemilai  2.  Dengan
  
10
8
33
penjelasan
sebelumnya
bahwa
input
dan
oui:put
disimpan
dalam
array
dua
dimensi
maka
dapat  dibayangkan 
bahwa
array 
yang
terbentuk 
akan
memiliki 
2
baris
dan
N/2
kolom
atau 
merniliki 
kolom 
dan 
N/2 
baris, 
sebingga 
seo!ah-olah 
akan  teljadi 
pemisahan
antara
titik
ganjil
dan
titik
genap.
Sebagai
ilustrasi,
hila
terdapat 
sinyal
dengan
16
titik
dan
akan 
dihitung 
dengan 
aigoritrna 
FFT 
radix-2 
ini  maka 
sinyal 
16 
titik 
tadi
akan
dipecah 
menjadi 
bagia.n-bagian
yang
kecil
(bagian  penyusunnya) 
dan  akan  dipisabkan
antara
penyusun
garljil dan genap
seperti
terlihat
pada
gambar
berikut
:
1
sinyal16 tilik
o
1
2
a
4
s
a
7
a
9
10  11 
12 
13 
14 
1s
1sl yal8mlk
ro
2
.:
s
a
10
12
14
11
1
3
s
1
11
1s  15
Jl 
Jl 
1
sir.yal41i'jk
o
4
a  
12
ji   2
e
10  14
II 
1
5
9  
13
j!  
3
7   11
15
I
1sinyal2tilik
Jl
¥'
 
Jl
Jl
2
,(\tJI\t,( ,(
,(
JI
,(
Ji\t
1
sinyal1tilik
[!J @J0EJ0EJ 00EJ[J[22][2JEJ
Pada gambar
di
atas
terlihat
bahwa
susunan
bit
inputnya
mengalami
perubahan
seteiah
dilakukan 
pemisahan
terhadap
penyasun
ganjil
dan
genap.
Perubahan
yang
terjadi
mengikuti
poia
tertent"<.l, dirnana
bit
paling
kiri
(MSB)
di
pindahkan
·menjadi
bit
pa!L11g kanan
(LSB).
Untuk
lebih
jelas
perhatikan
ta:bel
berikut.
  
     I IA
34
L
A
Tabel
2.1 Bit Revene
Pertanyaan
selanjutnya
adalah
mengapa
harus
dilakukan
bit
reverse.
Hal
ini
dapat
dijelaskan 
secara
jeias
dengan 
menggunakan 
matriks.
Perhatikan 
pers.
2.47,
persamaan
tersebut
dapat
dituliskan
dalam
bentuk
matriks sebagai
berikut :
f
X(O)  
l
r
X(l) 
!
I
I
I
X(2) 
=c
II
W
N
"
w;
w:
W
.
N
"
.
w;
w
N
"
A
w1
N
w.:
A
w:: 
l
r
x(O) 
l
W,{
x(l) 
w;N 
.
x(2) 
I'
M
.
M
'
L
I
M
J
X(N
··l)
M
w
N
"
M
M
A
w<N-t)
vrN
WJN-t)'
[x(N-l)J
Untuk
mempermudal1, misalkan
terdapat  sinyal
dengan
4-titik
yang
akan
di
D.FT,
maka
dari         
2.47
diperoleh
:
X(O)
=
x(O)· w;}
+
x(l)·W::+x(2)·
W+x(3)·W::
X(l)
=
x(O)· W:+ x(l)·W+x(2)·  
w,;
+x(3)·W
X(2)=x(O)·W+x(l)·
w,; + x(2)· w;
+x(3) ·
W::
X(3)
=
x(O)·
W,,;
+
x(l}·W+x(2)·
w;
+x(3)·W
  
._ 
J
N
N
N
N
-
N
'"''
I
J.
'
I
35
dari hasil yang telah dijaharkan dapat ditulis daiam bentuk matriks sebagai berikut :
.
!X(O)l
jw;
w:
N
w;
w;1
fx(O)l
I
X(l) 
1=1
W
N
'
W?
N
I
X(2)!
I
WN
w:
N
z
w:•
N
I
X(3) I
W:"
W:' 
w:•
Vi,.
!
x(l)
l
w;. I
x(2):
w;J lx(3)j
Denga11
menerapkan
sifat 
periodik
yaitu
w.
n·k  _
w.n·kwo<IN
dan
w;
=e-i
2
=cos(O)- jsin(O)=l
Maka
matriks di atas dapat disederhanakan menjadi
;x(o)l
fl 
1
1
llfx(O)
IX(!) 
=
11
ww;
w;1.!
x(I)
1
X(2)
I
¹
w;
w; 
w;i  I Ix(2)
LX(J)j    L1
w
w;
w
Lx(3).
Matriks segiempat  di
atas
pun
masih
dapat
disederhar:takan  dengan
cara  difaktorkan
asalkan outputnya atan pengalinya dilakukan opernsi bit reverse. Hasil dari pewJ'aktoran
matriks di atas adalah
f
X(0)1
l
v,;;;
0
X(2) 
¹
w,;:
o
I
X(l)  
=I
0
0
1
LX(3)J 
lo 
o
1
o
w;
o
Hx(O)l
1
0
W:
I      1
x(l)
o
w; 
j
x(2)
j
1
o
w;
Lx(3)J
Perka!ian dua matriks yang paling kanan menghasilkan
X(O)+X(Z)·WJ\
X(l)+X(3)·W
n
4
perka!ian
dan
4
penjumlaltan kompleks.
X(O)+X(2)·Wi
X(l)+X(3)·Wi
Membutuhka
Dengan
menggtmakan sifat simetri 
w:
=
-W 
maka 2
perkaliannya
dapat dik:urangi,
seperti ter!ihat berikut ini:
  
l
36
X(O)+X(2)·W \
X(l)+X(3)·W: 
I
.
X(O)-X(2)·W:
Membutuhkan 2 perkalian dan 4 penjumlahan kompleks
.
X(1)-X(3)·W;
Hal serupa berlaku
untuk perkalian matriks sisanya (ingat, tadi
hanya dua matriks
yang
dikalikan) dimana dengan sifat
simetri 
w
=
-w
jumlah perkalian kompleksnya dapat
dikurangi. Hasillengkap dari perkalian
tera.k.!Mr
matriks
ini
adalah
X(O)
=
(x(O)
+X(2)·W:)+W:(x(l)+x(3)W;)
X(2)
=
(x(O)+x(2)·W;)W. (x(l)+x(3)w;)
X(l)(x(O)
+
x(2) · w;)+ W
(x(l) + x(3)W;)
X(3) = (x(O)
+
x(2)·W%)- W (x(l)+x(3)W: )
Dalam
pemrosesan sinyal
digital
dikenal
isti!ah
butterfly. Butterfly
digunakan
untuk 
menggambarkar, penrraian
(decimation)
yang
te!jadi.  Ada
dua  jenis peruraian
yang  pertama
adalah  pemrnian
dalam
waktu 
(decimation-in-time 
(DIT))  dan  kedua
adalah 
peruraian 
da!am 
frekuensi  (decimation-<in-frekuensi
(DIF)). 
Berikut 
adalah
gambar dari butteo1y
dasar untuk kedua jenis peruraian tersebut.
  
   2
37
2
Hasi!
perhitungan
matriks
di
atzs
dapat
dituliskan
ulang
dengan
butterfly 
seperti
terlihat
pada
Gambar
2.22.
Jenis
peru:raian
yang
gunakan
dalam
melak:ukan
perhitungan
n:atriks 
tadi  adalah 
peruraian 
dalam 
waktu, 
karena 
yang 
dilak:ukan
adalah 
mengurai
inputnya
menjadi
bagian ganjil-genap.
x(O)
<>· -:----_..,11----:;f'>-· ··--...··------..-.,---e
x(O)
x(3)
Dengan
pemfaktoran,
perkalian
kompleks
yang
dibutuhkan
hanya empat
buah
bandingkan  
dengan  
tidak   menggunakan  
pemfaktoran  
!:isa   mencapai  
16   perkalian
kompleks.
Jadi
dapat
disimpulkan 
bahwa
dengan
algoritma
FFT
dimana 
memanfaatkan
sifat
simetri
dan periodik
dibutuhkan
:
N*log 
N
.
o
perkalian
kompleks
dan
2
o
N
*log
penjumlahan
kompleks
Bila dengan
perhitungan
DFT
biasa
maka
dibutuhkan
:
o  
N²
perkalian
kompleks
CJ
N(N-1)
penjumlahan
kompleks.
  
38
Berikut    perbandingan 
antara 
perkalian 
kompleks 
dengan 
menggunakan
komputasi 
N-titik
dan 
N-titik
Tabei
2.2
Ferbandingan
Antam
FFT  dan 
DFT
2.4           
Fungsi Jertdella
(Window
Function)
DFT 
menganggap
inputnya 
merupakan
satu:
periode
dari
deret
yang
periodik
(Taylor,
1994, 
p294).  Jika
inputnya 
bukan
merupakan 
satu  periode,
maka
akan  timbul
diskontinuitas. Diskontim<itas 
ini 
mengakibatka\1 timbulnya 
frekuell8i-frekuensi 
barn
yang
menyebar
dalam
spektrum
sinyal.
Efek     
disebut
dengan
leakage
atau
kebocoran.
Kebocoran 
dapat
dikurangi
dengan
mengalikan
input
dari
DFT
dengan
sua.'u fungsi
yang
disebut 
dengan 
fungsi
window 
atan 
jendela. 
Fungsi 
jende!a  menyebabkan 
input 
DFT
menuju
ke      
di kedua
ujungnya
sehingga
diskontinuitas
tidak teJ:jadi.
Bila 
spektrum  
Y(m) 
adalah  
konvolusi 
antara   spektrum  
sinyal  
X(«# 
dan
spektrum 
fungsi 
jendela
W(m),
maka
fungsi 
jendela 
yang  ideal  adalah  fungsi 
jem:lela
  
J
39
)
yang
memberikan 
Y(co) =X(aj}.
:Hal ini
berarti
W(aj}
=
0(
aj}
atau
w[
nl
=
I
untuk
seluruh
n
yang bukar.
merupa.l.ran fungsi
terbatas
sehingga
tidak
praktis.
Beberapa  fungsi  jendela
telah  dikembangkan 
untuk 
mendekati 
W(
aj} 
=
0(
w)
sampai
pada
beberapa
tingk:at akurasi,
beberapa
yang
umum
adalah
:
Rectangular Window:
w(n)=l, 
o
sn s
N
-1 
pers.
2.48
Bartlett
Window:
i2·n
(N-1)
:    -··,
OSnS-···-
f)
1   
N
2
w,n 
=1 
)
I
2·n
(N-1
r
12---
---snslv
-1
l
N'
2
pers.
2.49
Hanning
Window:
w
(
n
)
Z· r·n'll
0.5·
[
l-eo
{
N'-l
OsnsN-l 
pers. 2.50
Hamming Window:
w
·(
n
)
-
0.54
_
0.46
.
cos.
(2·7l'·
n\
)
'
0
s
n_ N
<
_
1
\. N-1
pers.
2.51
Blackman
Window:
wv
(
1
)
0.42-0.5-cos
(2·tr·n'l
·
1+0.08 ·cos
(4·rr·ll)
,
0
s
n
s
N
-1
pers.
2.52
N-1)
N-1
  
40
Lebar
Lobe
w(ro)
Gam bar
2.23
Kll:ralrteristik  Furngsi Je.•1dela
Berikut
diperlihat.l;:an perbandingan
karakteristik
fungsi-fungsi  jendela
diatas:
Ta!Jet 2.3
Kru-akteristik Fangsi-fungsi Jendeia
Untuk 
mengurangi 
kebocoran, 
dipilih 
windnw
data 
w(n)
yaog 
mempunyai
lobe ·sisi
lebih 
rendah 
dalaru
domain
frekuensi  dibandingkan 
dengan 
windnw
persegi.
Suaiu  reduksi 
lobe
sisi.
dalrun  fungsi 
W(w) 
dapat 
dicapai 
dengan 
meiebarkan 
lobe
utamanya
tetapi
mengakibatkao
spelctrum
sinyal
akao
kehilangan
resolusi.
mea spektrum
window  retatif sempit lebarnya dibandingksn dengan spektrum 
dari 
sinyal, 
fungsi
window 
hanya 
memberikan 
pengaruh 
yang 
kecil 
(halus) 
pada 
spektrum  
X(w)  
dan
sebaliknya.
  
43
Dalam
pembahasan
skripsi
tersebut  digunakan
fungsi
jende!a
Hanning.
Untuk
N
=
1024,
fungsi
jendela
Hanning
digambarkan:
,0.999998,    I
r
•,
..
/
,C,   
0
lLL.
0
200 
400
600 
800
moo
1024
GIJr, 2.24 Hamung Window
Filter
Digitai
Filter
pada pengolar.an
sinyal
berfhngsi
untuk
memisahkan
dan
membentuk
ulang  sebuah 
sinyal.   
Pemisahan   
sebuah 
sinyal 
diperlukan 
bila  sebuah 
sinyal  telah
tercampur 
dengan
interferensi, 
noise
dan
sinyal
lain
ya.'lg
tidak
diinginkan. 
Bayangkan
kesalahan
ana!isa
yang
bisa dibuat         
seorang
dokter
yang
menggunakan
alat
untuk
mengamati 
aktifitas 
jantung  dari 
seorang  bayi.    Ianpa
adanya  filter  akan 
sulit 
untuk
memhedakan
mana
sinyal
dari
detak
jantung
si
bayi
dengan
sinyal
yang
diakibatkan
oleh
nafas
si
ibu
dan juga
detak
jantung
ibu
tersebut.
Pembentukan   ulang 
sebuah 
sinyal 
dilakukan 
bila 
tetjadi 
kerusakan  
pada
suatu
sinya!. 
Mi.salnya
pembentukan
ulang
sinyal
suara
yang
direkam
dengan
peralatan-
peralatan
berkualitas
rendah.
  
42
Pada  umumnya
di
dalam
pengolaha11 sinyal
digital,  sinyal 
input  dan
sinyal
output 
ditampilkan 
dalam
domain
waktu.  
Hal
dari
pengambilan
sample
secara
periodik.
dikarenakan 
sebuah 
sinyal
dibenttL.lc
Seperti 
dalam 
gambar 
2.25, 
setiap 
filter 
linier 
merniliki 
respon 
impuls,
respon
step
dan
respon
frekuensi.  
Ketiga
respon
tadi
mengandung 
informasi 
yang
sama
mengenai  sebuah  filter,
tetapi
dalam
bentuk
yang 
berbeda.    Ttka salah 
satu 
ditentukan
maka 
yang 
lainnya 
dapat 
dicari.    Ketiga 
respon  tersebut 
penting 
bagi 
sebuah 
filter,
karena
ketiga
respon
tersebut
akan
rn.enentukan bagaimana
sebuah
filter
bekerja.
Cara 
yang
paling  rn.udah untuk 
rn.engirn.plementasikan sebuah  filter  adalah
dengan 
melakukan 
sebuah 
konvolusi 
terhadap 
sinyal 
input, 
oleh 
respon 
impuls 
dari
Filter
DigitaL  
Semua
filter
linier dapat
dibentuk
dengan cam
ini.
  
43
'
'
'
.
B
(l..tT:=
i
I
5
'
I
I a.
!m['lll"'l
n¢'!J<lll"'
I
1c
.
F""l'Jency r >l'()ll1<"
1
l
0.1+1--+-
-4--+-----l
!"·'r'-
-<
··"1---"i''!JJi !ft
'
l
I
!
I
5
'
'
!
6.1 
(t3
05
F
n,:y
ln.
Srepr
!.0
I
A
I
I
I
120.LQg( }
!
ld·
l'r<q  (inllil)
(
!
I
I
i
1
n. 
i
I
I
'
i
l
l
'
N
....
,
I
I
Ci3
!
"31
64
Sample
1111mi:'er
"' 
'
'
Cara 
lain
untuk 
membuat
sebuah
filter
digital 
dikena! dengan 
nama
"recursion."
Filter yang dibentuk dengan cara
recursion 
merupakan per.gembangan dari
fHter konvolusi,
menggunakan
nilai output sebelumnya.  .Filter rekursi ditentukan oleh
sekumpu!an koefisien rekursi
  
42
Filter  yang  dibentuk  dengan  cara  rekursi  biasa  disebut  sebagai 
Infinite
Impulse 
Respons 
kerena respon
impuls dari
filter
ini tidak
memiliki batas.    Berbeda
dengan  filter 
yang  dibentuk  dengan  cara  konvolusi  memiliki  respon  impuls 
yang
terbatas.
  
Seperti diketahui, respon
impuls adalah output dasi sebuah sistem bi!a input
dari
sistem
tersebut adalah sebual1 impuls. 
Begitu
juga
respon
step adalah
output dari
sebuah
sistem  bila
inputnya
adalah
step.   Karena
step  adalah hesaran
integrasi
dari
sebuah
impuls,
mak:a respon step
adalah
integrasi dari
respon
impuls. 
Dua
cara
untu..lc
menentukan respon step dari sebuah filter adalah dengan
memberik:an
input step kepada
filter tersebut atau dengan cara
mengintegrasi respon impuls
dari
filter tersebut.  Respon
frekuensi dapat ditentukan dengan menerapk.an algoritma FFT pada respon impuls.
2.5.2
Bagaimana
Informasi Ditampi!kan Da!am Sebuah Sinyal.
Informasi dalam
sebuah sinyal da!am domain  waktu adalah
ketik:a
sesuatu
yang diamati terjadi dan amp!itudo dari kejadian itu
disimpan, kemudian dalam interval
waktu 
tertentu  diambil  lagi 
nilai  amplitude  dari kejadian 
yang  diamati 
tersebut
Meskipun hanya l
niiai amplituda yang diambil itu tetap merupakan sebuah informasi.
Berbeda
dengan domain
waktu,
inforrnasi
yang ditampilk.an dalam domain
frekuensi
lebih sulit
untuk dibayangk:an.
Banyak hal di alam
semesta ini
teljadi secara
periodik.  
Dengan jalan
mengulrur besar
frekuensi,
fasa
dan
amplituda
dari
kejadian
tersebut, maka
informasi
mengenai sistem
ya\'lg
menyebabk.an 
kejadian
tersebut
dapat
dicari.  Misalkan  sua.-a
yang  timbul  ketik:a sebuah  ge!as  diketuk.     Frekuensi  dan
.amonisasi
getaran yang timbul akan berhubungan dengan masa dan keelastikan bahan
pembentuk ge!as tersebut.  Kalau hanya dimi!ilri satu bua.\ nilai cuplikan saja, tidak bisa
disebut sebagai informasidari sebuah kejadian yang periodik   Informasinya terdapat di
dalam hubungan dari cuplikan-cuplika;1 yang ada pada sinyal tersebut.
Hal diatas
menjelaskan betapa pentingnya respon step dan respon
frekuensi.
Respon step
menjelaskan bagaimana infurmasi
yang ditampilkan dalam domain wak:tu
  
  
45
dirubah 
oleh 
sistem, 
sebaliknya 
respon 
frekuensi 
menjelaskan 
bagaimana   informasi
dirubah 
dalam  domain 
frekuensi.
Perbedaa.'l
ini  sangatlah 
penting
untuk 
rnendisain
sebuah  filter
karena
tidaklah  mungkin 
menggunakan 
sebuah  filter 
u..t1tuk  kedua tujuan
tersebut. 
Kualitas
yang
baik
dalam domain
waktu
akan
membuat
kualitas
dalam
domain
.
frekuensi 
menjadi  buruk,  bcgitu  juga
sebaliknya.    Kalau 
ingin  mendisain 
filter 
untuk
menghilangkan
noise
dari
sinyal
EKG
(informasinya
ditampilkan 
dalam
domain
waktu),
maka
respon
step
adalah 
parameter 
yang
sangat  penting,
dan  respon
frekuensi 
sedikit
pengaruhnya.    Sedangkan 
jika
ingin
mendisain 
filter  untuk
aplikasi  yang
berhubungan
dengan 
pendengaran,   maka 
respon 
frekuensi 
adalah 
parameter 
yang 
sangat 
penting.
Berikutnya 
aka.'l
dibahas 
apa
yang 
membuat 
sebuah  filter 
optimal 
untuk 
digunakan
dalam
domain
waktu
atau
dalam
domain
frekuensL
2.5.3
P&rameter-p:m metel!' Filter Dalam Domain Walrtu
Mungkin 
kurang  begitu 
jelas 
mengapa 
respon 
step  penting 
dalam 
sebuah
filter
yang
diterapkan
dalam
domain
ftekuensi, 
tetapi
respon
frekuensi 
bukan
merupakan
parameter
yang
penting.  
Jawabannya
terletak
pada
bagaimana 
manusia
memahami 
dan
mengolah
informasi
yang
ada.   
Ingatl.ah bahwa
respon
step, 
frekuensi 
dan
impuls
mengandung   infurmasi  
yang 
identik,  
hanya   saja 
ditampilkan  
dalam  
bentuk  
yang
berbeda. 
Respon
step
penting
untuk
menganalisa
infurmasi
da!am
domain
waktu
karena
itu cocok
dengan
bagaimana
manusia
melihat
informasi
yang
terdapat
dalam
sinyal.
Misalkan,   diberikan 
sinyal 
yang 
sumbemya 
tidak 
diketahui   dan 
diminta
untuk 
menganalisanya.   Hal 
yang 
pertama  
yang 
dilakukan  
dalam   membagi   sinyai
tersebut
keda!am
bagian-bagian 
yang
karakteristiknya
sama.
Hal
tersebut
tidak
mungkin
untuk
tidak  di!akukan 
karena · pikiran 
manusia  secara  otomatis 
akan 
mengerjakannya.
  
46
Beberapa 
bagian 
mungkin 
lebih 
mulus;
yang
lain
memiliki 
amplituda 
yang
mencapai
puncak; 
yang 
lain 
lagi 
mungkin  
mengandung 
noise, 
Bagian 
tersebut  
terselesaikan
dengan
menentukan
point-point 
yang
memisarJi.an
bagian
tersebut
Dari
hal
itulah
fungsi
itu
berasal.
Langkah
fungsi
tersebui
semata-mata
untuk
merepresentasikan
sebuah
divisi
antara
dua
bagi 
'l
yang
sama.
Hal
tersebut
dapat
ditandai
saat
kejadian
tersebut
dimulai
atau
saat
kejadian
tersebut
berakhir,
Hal
itu
rnenjelaskan
bahwa
apa
yang
ada
disebelah
kiri
sewal'tU-waktu
berbeda
dengan 
yang
ada
disebelah 
kanan.
Berik:ut
ini
adalah  cara
pandang
manusia
dalam
melihat
informasi
dalam
domain waktu:
sekelompok
fungsi
step
membagi 
informasi  
kedalam 
bagian-bagian  
yang 
sama 
karakteristiknya.  
Berikutnya
respon
step
sangatlah
penting
karena
respon
tersebut
menjelaskan 
perubahan 
oleh
filter
yang teljadi
terhadap
bagian-bagian  tersebut.
Gambar 
2.26 
menje!askan 
pentingnya 
pararneter 
respon  step 
da!am
merancang 
sebuah
filter.
Untuk
membedakan
kejadian
dalam
sinyal,
durasi
dari respon
step
h
'lls 
lebih
kecil
dari
jarak
antar
kejadian.
Hal
tersebut 
menyatakan 
bahwa
respon
step
hams
teljadi
secepat
muP.gkin.
Hal
ini
terlihat
dalam
gambar
2.26
(a)
dan
(b).
Cara
yang
paling
umum
untuk 
menentukan
risetime
ada!ah
menghiiung 
jumlah
cuplikan 
saat
amplitu.do
antara 
I0"/o sarnpai 
90%. 
Risetime yang
singkat 
tidaklah 
selalu 
mungkin
terca.?ai karena
alasan
berikut:
peredaman
noise, pencegahan
efek
aliasing
dan
lain-lain.
  
                 ' I  I
47
r
l.
I
I
"' 
""
"' 
I
I
"'
u
LL
.
"
POOR
I
'
-!
I
GOOD
F
'S.
<l5
{ij}
"'
(l
0
J.
'
I
I
I
I
.J:J.5
AJ
5
S.."'!'!e
llll!!lbl
i
i
1
J:Z
.t
Sart¢rnn'"""
Je,
:I
!
""'
-omoer.   )<
I
l
i
I
II
I
I
I
I
...!
u.
If 
I
-a
'
1
.. I
!
I
i
..
I
G
?6
J1
Slmpte O'..rml>er
LS 
'
I
f.
u..::.r
'*'"'
II
l
l
I
If
""
,Q,S 
I
n
!'I)
S>mple Olllt'll>e<
.A
I
•5 
I
I
Gambar
(c) dan (d)  menunjukkan
parameter
yang
tidak
kal.ah pentingnya
yaitu
(Wershoot 
dalam
respon
step.
Overshoot
haruslah dihilangkan
karena
mengubah
ampiitudo dari
cuplikan dari sebuah sinyal; hal ini adalah gangguan dasar
dari
informasi
yang terdapat
da!am
domain waktu.
  
48
  
49
Akhirnya,
tercapailab 
kondisi 
dimana
sisi
bawah 
dan
atas
menjadi
simetris
seperti
terlihat  dalam
gambar  (e)
dan
(f).
Kesimetrisan 
ini
dibutuhkan 
agar
sudut 
naik
terlihat  simetris
dengan  sudut
jatub.
Kesimetrisa11
ini
disebut 
fusa
linier,
karena
respon
frekuensi
memiliki
fasa
seperti
garis !urus.
2.5.4
P&rameter-l;)arameter Filter Dalam Domain
Frekuensi.
Ga..rnbar 2.27
menunjukkan 
empat
dasar
dari
respon
frekuensi. 
Tujuan  filter
ini 
untuk  
melewatkan 
frekuensi" tertentu,  
sedangkan 
disisi 
lain 
menindas 
frekuensi
lainnya. 
Band
Pass 
menunjuk 
kepada 
frekuensi 
yang
diiewatkan 
sementara  Band  Stop
terdiri
atas
frekuensi
yang
ditindas.
Sedangkan
Band
Transisi
berada
diantara
keduanya.
Sebuah
roo!off 
yang
cepat
berarti
band
transisi
sangat
tipis.
Frekuensi 
antara
band
pass
dan
band
transisi
disebut
frelruensi
cut
off.
Dalam
merancang
filter
analog
frekuensi
cut
off 
ditentukan 
saat 
penguatan 
turon   menjadi  0,707 
(- 
3dB).  Filter 
digital 
memiliki
standar 
dan 
umllr"'ullya  99"/o, 90%, 
70,7% 
dan
50%  tingkat 
penguatan 
mengacu 
pada
frelruensi cut
off.
G-'o1ll.bar
2.28
memperlihatkan tiga
parameter
untuk
melihat
seberapa
baik
kualitas
filter
daiam
domain
frelruensi. Untuk
memisahkan
frekuensi
dalam
jarak
yang
sempit, 
filter 
tersebut 
harus 
memiliki 
ro!l
off 
yang  cepat 
seperti 
yang 
diilustrasikan
dalam
gambar 
(a)
dan
(b).
Untuk
frekuensi 
band
pass
dapat
bergerak
tanpa
mengalami
peredaroan,
tidaklab
diperkenankan
untuk
terjadi
ripple
Band
Pass,
seperti
teriihat
dalam
gambar
(c)
dan
(d).
Berikutnya,
untuk
meredam
band
stop
dengan
baik dbutuhkan
peredi.L.'"llall band
stop yang
baik
seperti
terlihat
dalam
gambar
(e)
dan
(f).
  
l
<
'
49
a. Lmv·pl!!!S
c.
Baru!"!'l SS
-1!
pio%!4md:
t
.exltj.t;tf
.E
'T 
l'r1il
fj
J] 
"
e
'
I!
'
S!#pfJttnJ
Ft'f'G.ttt'5'..c)' 
F«t,'"""'-"Y
  
  
                                    J
50
I
I
T
I
I
l
li
_,1
'
l
I
I
I
I
I
I
..
"
I
POOR
GOOD
lo
strv!l+
l
I
I
.n
'
!
"
•*--i--iiii,--4-- --
I
.._, -
.!---1---1---1---1----l
l
I
'
I
I
5
!
!
"
.5
i
I
I
!
1
!-
TI
l
'
I
c. 
in jlOSSlla.'ld
!.5
I
la
l'J>t
I
I
I
-!
""I
I
!
j
I
i
i
I
I
I
i
I
I
I
!
I
I
'
I
I
I
I
I
I
I
0.1
•••
"""'
0.! 
.,
·!00    
.  
.,._-J--·+
-uF.4----4----i--
05
  
m
iu
:ro
4G
s;;J
51
Time
Domain
Frequency  Domain
"' I
"·'
"·'
" +----+----r---4----4----;
{I
Somplo-
2.5.5
Filltel" High Pass, Band Pass dan Band Reject
Filter  High 
Pass, 
Band 
Pass 
dan 
Band 
Reject 
dirancang 
dengan 
terlebih
dahulu
merancang
sebuah
filter
Low
Pass
dan
kemudian
mengubahnya 
ke
dalam
respon
yang
diinginkan. 
Ada
dua
metode
untuk
mengkonversi 
Filter
Low 
Pass
menjadi
Filter
High Pass yaitu: spektral
invertion
dan
spektral
i-eversal keduanya
sama-sama
berguna.
Contoh 
dari 
spektral 
invertion 
terlihat 
dalam  gambar 
2.29.
Pada 
gamhar
2.29(a) 
mernperlihatkan 
Kernel 
Filter  Low  Pass  yang
disebut  sebuah 
windowed-sine.
Kernel
filter
ini
terdiri
atas
51
cupiikan,
meskipun
banyak  sample 
memiliki  ni!ai
yang
keci! dan  mendekati
nilai 
no!.
Respon 
frekuensi 
dari  Kernel 
tersebut 
terlihat 
dalam
gambar  2.29(b),
dicapai
dengan
cara
menambahkan 
l3 buah
nilai
no!kedalam 
Kernel
Filter
dan
melakukan
FFT
64 titik.
Dua
hal
yang
hams
dilakukan  untuk
merubah
Kernel
  
52
Filter
Low
Pass
menjadi
Kernel
Filter
High
Pass.
Pertama,
melakukan
pembalikan
tanda
pada
seriap
sample 
c!ari
Kernel 
Filter.
Kedua, 
tambahkan 
satu
kedalam
cuplikan 
yang
berada  dipusat  simetri.
Kernel  Filter  High  Pass  yang  dihasilkan  terlihat 
pada
gambar
2.29(c) 
sedangkan
respon
frekuensinya
pada
229(d).
Spektrallm>ertion
menukar
respon
frekuensi 
atas
menjadi
bawah
dan
sebaiiknya, 
Membah 
Band
Pass 
menjadi
Band 
Stop
dan
Band 
Stop  me!'Jadi
Band
Pass.
Dengan 
kata
Jain
spektal 
invertion 
merubah 
filter
dari
Low
Pass 
menjadi
High 
Pass,
High
Pa.<:S  menjadi 
Low
Pass,
Band 
Pass 
menjadi
Band
Reject,
Band
Reject
menjadi
Band Pass.
x[n]--1
x[n]
--ll>lil!>l 
O(n] - b[nJ
!---'  
>'   > 
y[n]
Gambar
2.30
memperlihatkan
kedua
penggubahan
tersebut
terhadap
domain
waktu 
didalam 
spektn1m
frekuensi 
yang
dibalik. 
Dalam 
gambar 
2.30(a) 
sinyal 
input,
x[n],  dan
memungk:inkan
untuk
dua
sistem
secara  pararel.
Satu
sistem
merupakan
Low
  
53
Pass  
Filter,  
dengan  
memberikan  
respon  
impuls  
oleh  
h[n].  
Sistem  
lainnya  
tidak
memberikan .respon kepada
sinyal,
dan. karena
itu
fungsi
delta
mernpakan
respon
impuls,
S[
n}.
Output  keseluruhan,
y[
n
J,
adalah
sama
dengan
output 
minus
dari
seluruh  system
pass. 
Saat 
komponen 
frekuensi 
rendah 
mengurangi 
sinyal 
aslinya, 
hanya 
komponen
frekuensi
tinggi
yang
tampak
pada output.
Demikianlah
filter
high
pass
terbentuk.
Hat
tersebut 
dapat 
pula
dibentuk 
seperti 
operasi 
dua
tingkat 
dalam 
program
komputer: 
Ja!ankan 
sinyal
me!a!ui
filter 
low 
pass,
dan
kemudian 
kurangi 
sinyal 
filter
dari
sinyal
aslinya.
Tetapi,
seluruh
operasi
dapat
dibentuk
pada
tingkatan 
sinyal
dengan
menggabungkan dua
kernel
filter.
Sistem
parallel
dengan  
penambahan 
output
dapat
menggabungkannya
pada 
tingkatan 
sinyal 
dengan 
menjumtahkan 
respon 
impulsnya.
Seperti
yang
tergambar 
pada
2.30(b), 
kernel
filter
untuk
filter
high
pass
diberi
an
o!eh:
li[n]-
h(n].
Hal
tersebut, 
merubah
tanda
untuk
semua
sample,
dan 
menambahkan 
satu
pada
sample
pusat
simetri.
Untuk
teknik
ini
bekerja,
komponen
frekuensi
rendah
yang
merupakan 
bentukan
dari
filter
low
pass
hams
memiliki
fase
yang
sama
seperti
komponen 
frekuensi 
rendah
yang
terbentuk oleh
semua
sistem
pass.
Sebaliknya 
pencapaian 
pengurangan 
tidak
mengambil 
tempat. 
Berikut 
merupakan 
dua 
batasan-bataaan 
pada 
metode:
(1)
Kernel
filter
aslinya
harus
memili.ki simetri
kiri-kanan,
dan
(2)
impuls
harus
ditambahkan 
pada
simetri
pusat.
Metode 
kedua 
untuk 
konversi 
dari  high  pass 
ke 
low 
pass, 
spectral
reversal,
dili!ustmsikan 
pada  gambar 
2.31. 
Seperti  sebelumnya, 
kernel 
low 
pass  pada  gambar
2.3l(a)
yang
berhubungan 
dengan  frekuensi 
respon
pada
gambar 
2.3l(b).
Kernel 
high
pass,
g!!l!lbar
2.31(c), 
terbentuk 
dengan 
menggubah 
tanda 
pada 
setiap 
sample 
dalam
gamhar
2.31(a).
Seperti
pada
gambar
2.31(d),
membalikkan
domain
frekuensi  kiri
untuk
  
  
  
               +       4 I I
54
·+··*·
I
"'
"' 
""
""
ti
u
I
.
4
"
.
kanan:
0
menjadi
0,5
dan
0,5
menjadi
0.
Frekuensi  cutoff 
pada
contoh  filter
low
pass
adalah
0,15, hasil pada
frekue11Si
cutoff
dari filter
high
pass 
menjadi
0,35.
Time
Domain
I
I
---r
'
i;t.,
l
\
Frequency Domain
oal
frequwcy ._"""
I
\
l
'
I
'
t
i
I
l
.•
\' 
J
J
I
a
10
'
Sample llll.'llter
6.1
•••
L
.
0
.
u
:Ze
.0:
i
{).2
0
-<!
.5
1
R"'"""-"<1 
freqm..cy
••
l
I
I
11
1/
_,
/<fr{j4ight
t
-<'!
10
"'
!llll
"
l'-
'
..
"'
O.l
o.•
S.rup!"
Mengubah 
tanda
untuk
setiap 
samp!enya 
memiliki
kesamaan 
dan 
untuk
menggandakan
kernel
filter
dengan
frekuensi
pada
0,5.
Akhirnya,
gambar
14.8
dan
14.9
menjeiaskan 
bagaimana 
kernel 
low 
pass  dan  high 
pass 
dapat 
digabungkan 
kebentuk
b;uu:l 
pass
dan
filter 
band
reject. 
Menjumia.bkan
kernel
:filter
menghasilkan 
filter
band
pass.
  
!
Moving 
aver-oge (Ch. 15)
Single pol
(Cil.
>9)
Wzm:!owed-sinc (Ch. 16)
Ciltlbyshev
(C!I. 20}
I
HR
custom (Ch. 17)
Iterative dc.<dgn
(Cil. 26)
55
2.5.6 
Kiasifikasi
Filter.
FILTER IMPLEMENTED BY:
---,
I
TimeDomll;in
(,smoolhfR8. DC Yt!Jf'IOW1f)
Freqooncy
Domaill
(>'Pf'mtl•gfnH{rutlcks)
Cust0!1l
(l!eCOIIWJiMi<'II'
('-')moludon
Fmii< ll!IP•L<<
llespo
.-
(l(l/1)
Rllcursi\lll
bifirrire 
•lui
(fJRJ
Pada
gambar 
2.32  ditampillam
bagaimana
:filter digital 
dik!asifik:asikan
oleh
kegunaannya  
dan 
oleh 
implementasinya. 
Penggti<'Jaall 
digital 
filter 
terbagi 
atas 
tiga
k:ategori:
time
domain,
frequency  domain
dan
custom. 
Seperti  yang
digambarkan
pada
sebelumnya,
filter
time
domain
digt.makan
saat
informasi
di-encode
daiam
bentuk
sinyai.
Filterisasi
time domain
digunakan
untuk:
smoothing,
DC
removal, dan
lain-lain.
Pada
perbedaanya,  
filter  
domain  
frekuensi  
digunakan  
bila  
informasi  
berisi  
amplituda,
frelruensi 
dan   fase 
dari 
kornponen  sinusioda. 
Tujuan 
dari 
filter  
ini 
adalah   untuk
memiaahkan  
aalah 
sara 
dari 
band 
frekuensi   dengan  
yang 
lainnya.  
Filter   custom
digunakan  untuk
peketjaan khusus
yang dibuturJi:ar1
oieh filter,
sesuatu
yang
lebih
rumit
daripada
cmpat
respon
dasar
(high
pass, low
pass,
band pass dan
band
reject).
Digital
filter
dapat
di.implementasilam
dengan
dua
cara.
Dengan 
konvolusi
(FIR
atau
Finite
Impulse
Response)
dan
dengan
rekursi
(UR
atau
Infinite
Impulse
Response).
Konvolusi 
membawa 
filter
dengan  perfurma
yang
lebih
baik
dibanding 
dengan
menggunakan
rclcursi, tapi
tmtuk
mengeksekusinya
jauh
lebih !ambat.
  
56
pengertian
dasar
tentang
filter
yang telah
dibahas,
maka
dapat
ditarik
kesimpu!an 
untuk 
membuat  sebuah 
equalizer 
dibutuhkan 
sebuah 
filter   
digital 
yang
bekerja
pada
domain
frekuensi. 
Hal     
berarti
filter tersebut  adalah
filter windowed-sine
(FIR)
atau Chebyshev
(I!R).
Dari
dua
filter
diatas 
maka
1.mtuk
sknpsi 
ini
digunakanlah 
filter
wiruiawed-sinc
karena
kemampuannya
yang
lebih
bagus
dacripada
filter
chebyshev.   Karena
hal
ini
juga,
maka 
pembahasan  
berikutnya  
tentang  
filter 
hanya 
mengenai  
filter 
windowed-sine.
Sedangkan
untuk
jenis filter
yang
lain
tidak
dibahas
pada skripsi
ini.
Filter
Windows Sine
Filter 
windowed-sine 
umum  digunakan 
untuk 
memisahkan 
band  frekuensi
satu 
dengan
yang
lannya.  
Filter 
ini
sangat
stabii
dan
rnemiliki 
performa  yang 
sangat
bagus. 
Filter
ini
menngunakan
metode
konvolusi
standart
sehlngga
cukup
mudah
untuk
memprogramnya  tetapi
lambat
dalam dijalank:a..'L
         
Drum.r Filter Windowed-Sine
Gambar
2.33
menjelaskan
maksud
dari
filter
windows
sine.
Pada
gambar
(a)
diperlihatkan  respon
frekuensi
dari
filter
low
pass
yang
ideaL
Semua
frek:uensi
dibawah
frekuensi     cutt-off 
(
fc) 
dilewatkan 
dengan 
gabungan 
amplituda,   sedangkan 
semua
frekeunsi
tinggi diblok 
Frekuensi
yang
dilewatkan
benar
benar
datar,
pelemahan
dalam
frekuensi 
yang 
ditaharr
tak 
terhlngga 
nilainya.  Dan 
transisi 
antara 
keduanya   
sangat
kecii.
Menggunakan  metode
Inverse
Fourier
Transform 
dari
respon
frekuensi
ideal
ini
menghasilkan
filter
kernel yang
ideal ( respon
impulse), ditunjukan
pada gambar
(b).
  
57
Kurva 
dalam 
bentuk 
un1um
:
sin 
(x)/x
,
dinamakan 
fhngsi 
sine
ditunjukan 
oleh
persamaan
dibawah
irri :
h[iJ  -
                                   pers.
2.53
Melakukan
konvolusi
terhadap
sinyal
input
dengan
kernel
filter
ini akan
menghasilkan
filter
low-pass
yang
sempume.
Yang
menjadi
masalal1
adalah: fhngsi
sine
ini
ber!anjut
terus
berosilasi
dalarr: sisi
positif
dan
negatif
sampai
tak
terhingga,
sehingga
tidak  pernah 
mencapai  a.'llplitudo
no!.
Panjang 
yang
tak  terhingga 
ini
bukan 
masalah
bagi
perhitungan
matematika,
tetapi 
bagi
komputer
ini
merupakan  masalah.
Untuk
mengatasi
masalah ini
harus
dibuat
dua
perubahan
fungsi
sine
dalam
gambar
(b),
hasH
bentuk
gelombang 
ditunjukkan
dalatn
gambar
(c).
Pertama, 
dilakukan
pemotongan
sampai
dengan 
titik
M-1
,
secara
simetri
sampai
ujung
yang
utama
dimana
M
adalah
bilangan
genap.
Semua
sample
diiuar
dari
titik
M-l 
diatur 
menjadi
bernilai
0
atau 
sama
dengan 
diacuhkan. 
Kedua,
seluruh 
nilai
digeser 
ke
sebelah 
kanan
sehingga
dimulai
dari
0
sampai
M.
Hal
ini
membuat
kernel
filter
dapat
di.representasikan
dengan
       indeks  
positif    
Sementara    b&'"!yak    bahasa   
progr&'!'.rning
mengijinkan  
indeks  
negatif   sehingga  
ba!uisa
programming  
tersebut  
susah 
untuk
digunakan.
Efek  !anjutan  dari  pergeseran
sebesar  M/2  pada  filter  kernel
adalah
mengeser
sinyal
keluaran
deng&'l besar
yang sama.
KareM 
perubahan 
kernel
filter
yang
terjadi
hanyalah 
perkiraan 
dari
kernel
filter 
yang
ideal,
maka
tidak
tercapai  respon
frekuensi 
yang
ideal.  Untuk 
mendapatkan
respon
frekuensi,
maka
dilalrukan
transformasi
fnurier
terhadap
sinyal
dalam
gambar
(c),
menghasilkan
lrurva
dalam
gambar
(d).
Yang terjadi
kemudian
adalall sesuatu
yang tidak
  
58
diinginkan.
Terdapat
riak
yang sangat
banyak
dahun
frekuensi
yang
dilewatkan
dan
pelemahan 
yang
lemah
dalam
frekuensi 
yang
ditahan.
!YJJtsa!ah
ini
berasal
dari
ketidak­
kontinuan
yang
terjadi
secara
tiba
tiba
di
akhir
dari
fungsi
sine
yang
dipotong.  
Dengan.
menambah  
panjang   kernel  
filter   tidak  
akan 
menyelesaikan  
masalah  
ini,  
karena
berapapun
panjangnya M yang
dibuat
sangat
tidak
berpengaruh.
Untungnya,
ada
metode
sederhana
untuk
mengatasi
masalah
ini.
Gambar 
(e)
menunjukkan 
kurva 
yang 
ha!us
yang 
dinamakan 
Blackman 
wind.aw.
Memperbanyak
pemotongan 
sine
ditunjukkan 
pada
gambar  (c),
dengan  Blackman
wind.aw,
hasil
dari
filter  
window  
sine 
dimuncul.kan 
pada   bambar   (f). 
tujuannya   nntuk  
menghindari
pemotongan
yang
curam
dan
tiba
tiba
dan
dengan
demik:ian
meningkatkan 
dapat
respon
freku.e:JSi.
Gambar 
(g) 
menunjukkan 
peningkatan 
ini.
Frekuensi 
yang 
lewat 
sekarang
adalah
datar,
dan
attenuasi
frekuensi
yang
ditahan
sangat
bagus
tetapi 
tidak
dapat
dapat
dilih..at
pada
grafik.
Ada
beberapa
window
yang
berbeda
yang
lain,
banyak
dari
window
tersebut
dinama..l(:an
dari nama akhir
penemunya 
pada
tahun 1950 an.
Hanya
Hamming 
windaw
yang 
digunakan 
dalam
skripsi 
ini. 
Dibawah ini
terdapat   persarnaan 
kedua
window
tersebut:
w[i] 
0.54- 0.46cos(2nt/M)
pen;.
2.54
Gatnbar 2.34
menunjukkan  
bentuk 
dari
hamming 
window 
dan 
blackman
wir.dow
untuk
M=SO.
V\l!ndow
mana
dari
kedua
window diatas  yang
lebih
baik
?
Hal
tersebut
terg-antung
parameter. 
Seperti
pada
gambar
2.34(b)
Hamming
windaw  memiliki
roll-off
20% lebih cepat
dibandingkan
Blackman
window.
  
                 I    -
"'
'
L
!.
59
Time Domain.
u
jib. l:ii>Jl
rer J
I
1'-'
i
!
I
Frequency Domain
U.5
-,-ffi-• ---·
<1
I
i
'
I
I
I
'
!
!
I
I
I
l
'
I
.
l
"
·
tu . - M---+----+----
"'
"-•!!!!: -""
emm"
If.
Wi ··lllo.-:7""-
I
-
!
!J.f
...
j-1
I
v
v
I
M
""" """''Y
GOiillbar 1.33  PII"O!leS pembentukan kernelfilter
windowed-sine
  
I
l
I
I
I
-
!
I
I
I
IM
,_,I
60
'
1•
,
'-"
,
'"" "I
,
I
j
1
,llla-, !
I '-'"
I
i
-t--
'
l
I
I
I
\
'
'
I
I
I
Q. 
'
it.;t
G,)
f""'l'let!CY
Gambar  2.34 Kalrakteristik
!uummint;dan
bloc/arum
window
Bagaimanapun 
gambar  c
menunjukkan 
bahwa
Blackman 
window  memi!iki
hasil 
frekuensi 
yang 
ditahan 
yang 
!ebih 
baik. 
Untuk 
lebih 
pastinya 
frekuensi 
yang
ditaban oleh
Blackman 
window 
berkisar 
-74 
dB
(
-
0,02%
),
Sementara 
Hamming
Window 
lumya
berkisar  -53dB ( - 0,2
%
).
Walaupun
tidak
dapat  di!ihat
pada
grafik
diatas
Blackman
window  memiliki
riak
riak
pada
frekeunsi
yang
dilewatkan 
hanya
0,02
%,
Sedangkan
Hamming 
window
hanya
0,2
%.
Secara
garis
besarnya
Blackman
window
seha.'Usnya  menjadi   pi!ihan   pertama   sebab  
pergeseran  
yang
lambat  
lebih  
mudah
ditangani
dari
pada
yang
memi!iki frekunsi
taba.n yang
!ebih
buruk.
Ada
beberapa
window
yang
mungkin
ingin
diketabui, 
walaupun
sangat
jauh
hila 
dibandingkan 
dengan 
Blacknu.m
winder"'
dan  Hamming
window.  Seperti
Bartlett
window  yang
berbentuk 
segitiga, 
menggunakan  
garis  lu.rus secara  langsung.  Hanning
  
61
window
disebut
juga
raised cosine
window
didapat
dari
Kedua
windows
ini
mempunyai
kecepatan  
roll   off   seperti  
Hamming,  
tetapi   lebih  
jelek   atenuasi  
frekwensi  
yang
dital1annya.
(Bartlett:-25dB
atau
5,6%,
Hanning-44dB
atau
0,63%).
Selain 
itu
juga
ada
rectangular
window.
Ini
sama
seperti
tidak
ada
window,
hat1ya
te!jadi
pemotongan 
pada
ujung
akhimya 
seperti 
pada 
gambar 
!6/lc.
Sedangkan 
pergeserannya 
-2,5
kali
lebih
cepat
dati
Blackman,
atenuasi
frekwensi
yang
ditahannya
hanya
sekitar
-2ldB
(8,9%).
2.5.7.2   
Peraneangan
Filter
UntUk  merancang 
filter 
windowed-sine, 
paramater 
yang 
harus 
dipilih
adalah
frek:wensi
cutofl'Jc,
dan
paujang
dari
kernel
filter
(M).
Frekwensi
cutoff
bersifat
seperti
pecahan
dati sampling
rate
maka
nilainya
harus
antara
0
dan
0,5.
:Nilai
untuk
M
sehan:ling
atau sesnai
dengan
apmksimasi  berikut
ini ;
                                                            per;.2.55
Dimana
BW
adalah
Iebar
dari
frekwensi
transisi, ukuran
dati
dimana 
kurva
tertinggai
satu
yang
kosong,
hampir
mendekati
0
(kurva
dati
99"/o-1%). Lebar
frekwensi
transisi
juga
bersifat
seperti
pecahan
dari
frekwensi
samplit-;g dan harus
bernilai
antara 0
dan
0,5.
Gambar 
2.35(a)
menunjukan 
contoh 
bagaL'llana.
aproksimasi 
ini 
digunakan.
Tiga 
kurva 
yang  ditunjukan 
didapat 
dari
kernel
filter
dengan  M=20,40,dan 
200.  Dari
persamaan
16/3
Iebar frekwem;i
transisi
adalh
BW=0,2
,
0,I
,
dan
0,02
,
masing-masing.
Gambar  
(b) 
menunjukkan   potongan   drui 
respon 
frekwensi  
tidak 
tergantung  
pada
frekwensi
cutoff
yang
dipilih.
  
I
'
I
62
3
(1>.
R¢11-•o.(' taff oi:y 
11
'
i
I
I
l
5l 
"
I\ """""'
"
..,.I
I
'
'
I
'
I
I
:
I
.
I
i
I
-
lr #l
OJ:t+---+--
l
\I
I
\I
'
'
I
\
U
{U
13.1
f.tl 
'
'
Freq \IDey'
Sejak
dibutu.lhlcan untuk
konvolusi
yang
proposiona!
pada
panjang
sinyal,
persamaan 2.55
menunjukkan
hubungan
antara
waktu
perhitungan
(tergantu.ng
pada nilai
"M) dan
ketajaman
filter
(nilai
BW).
Sebagai
contoh,
20"/o
pergeseran 
yang
lambat
dari
Blackman  window (seperti
yang 
dibandingkan  dengan 
Hamming)  
dapat  digantikan
dengan
menggunakan kernel
filter
20%
lebih
banya.lc dengan
kata
lain
dapat
dikatakan
Blackman window 20%
lebih
lambat 
untuk 
mengerjakan ekuivalen
roll-off 
Hamming
>vindow.
lni 
penting  karena 
kecepatan  pengerjaan  dari 
filter  
window-sine 
sudah
termasuk lambat.
Seper'J  
terlihat
pada Gambar 2.3S(b),
frekuensi 
cut-off dari.
filter >vindow-
sine  diukur 
pada satu
seteP,gah titik  amplituda. 
Mengapa 
menggunakan 
0.5 
pengganti
dari 
sta\'ldar
0.707 
(-3db) 
digunakan
dalam elektronika
analog 
dan
digital 
filter
yang
lainnya?
Ini
karena.
Respon
frekuensi
>vindow-sinc
berbentuk 
simetris
antara
frekuensi
yang
dilewatkan dan
frekuensi 
yang 
ditahan 
seoagai
eontoh,
basil
Hamming 
window
pada
riak
frekuensi
yang
dilewatkan 
dari
0.2%
dan
atenuasi
frekuensi  yang
ditahan
dari
0.2%.
Filter
yang
lain
tidak
menunjukk:an simetri
seperti
ini
dan
selain
itu
tidak
terdapat
keuntungan 
memakai 
satu
setengah  titik
amplitudo 
untuk 
membuat 
frekuensi 
menjadi
  
63
cut-off
sepcrti 
yang
telah  ditampilkan 
pada
chapter  ini,
simetri 
ini
membuat 
window-
sine
coook
untuk
spectral inversion.
Setetah
fc
dan
M
telah
dipilih,
kernel
filter
akan
menghltung
dari
persamaan
dibawh ini :
-
0
.....  
C
(
O
2r;;f) 
't
!lOScos
pers.
2.56
47!;)
l
\
M
(
1
Berdasarkan 
pembahasan 
sehamsnya
telah
dikenali
tiga 
komponen  : fungsi
sine, ¥,12
shift,
dan
Blackman 
Window. 
Pada
filter
untuk 
mendapat 
suatu 
pengnatan
pada
DC,
nilai
K
yg
tetap
hams  dipilih
seperti
penjum!ahan
dari
semua
sampel
adalah
sama 
dengan 
satu.   Untuk  
latihan,
abaikan 
pada 
saat 
perhltungan  
kernel 
filter
kemudian
dinormalisasikan
semua
sampel
yang dibutuhkan.
Juga
abaikan
bagaimana
perhitungan 
tersebut 
ditangani 
ditengah-tengah  
sine, 
=
M/2, 
dimana 
yang 
terlibat
dibagi
dengan
no!.
Persamaan  
ini 
mungkin   panJang, 
tetapi   mudah  
untuk   digunakan  
dapat
dengan
mudah
ditulis
kedaiam
program
komputer, dan
biarkan
komputer
menangani
perhitungan 
tersebut. 
Jika
pcrsamaan 
ini
dicoba
untuk 
dianalisa  
dengm
tangan 
maka
yang
di!akukan ada!
a,\ hal
yang
benar-benar
sa!ah.
Persamaan
2.56
mePJelaskan
!ebih
l
'ljut 
tentang
kernel
filter
yang
ber!okasi
didalam
komputer
array.
Sebagai
contoh,
M
dapat
dipilih
sampai
seratus.
Untuk
diingat,
M
harus
dalam
bentuk
bilangan
genap.
Poin
pertama
daiam
kernel
filter
adalah
didalam
!okasi
array
nol,
sedangkan 
poin
terakhir  pada
lokasi  array
seratus. 
Ini
berarti 
ba.'J.wa
par
ang
input
signal
adaiah
seratus  satu
titik.
Pusat
dari
simetri  adalah  pada
poin
lima
puluh,
M/2.
Lima  puluh
titik  yang
berada  dikiri
simetri  dengan 
lima
puluh  titik 
yang
  
64
berada  dikanan. 
Titik 
no! mempunyai 
nilai
yang 
sama 
dengan 
titik 
seratus, 
dan 
titik
empat  
sembilan 
mempunyai 
nilai 
yang 
sama 
dengan   titik  
lima 
puluh   satu.  
Jika
mempunyai 
nomor 
yang
spesifik 
dari 
filter 
kernel,  seperti 
menggunakan 
FFT, 
dapat
dengan
mudah
menambahkan 
no!
pada
satu dan
yang
lainnya.
Sebagai
contoh,
dengan
M
=
100,  dapat
membuat 
sampel  101
me!alui
127 
sama  dengan  0,
hasil
dalam 
filter
kernel
128
poin
panjangnya.