16
k
-1
k
k
k
(r
k
-
c
k
)b
k
+
(r
-
c
k
-1
)b
k
-1
+
L
+
(r
j
+1
-
c
j
+1
)b
j
+1
+
(r
-
c
j
)b
j
=
0
atau
b
j
((r
-
c
k
)b
k
-
j
+
L
+
(r
j
+1
-
c
j
+1
)b + (r
j
-
c
j
)
)
=
0
diperoleh
(
r
k
-
c
k
)
b
k
-
j
+
L
+
(
r
j
+1
-
c
j
+1
)
b
+
(
r
-
c
j
)
=
0
atau
r
j
-
c
j
=
(c
k
-
r
k
)b
k
-
j
+
L
+
(c
j
+1
-
r
j
+1
)b
=
b
((c
-
r
)b
k
-
j
-1
+
L
+
(c
j
+1
-
r
j
+1
)
).
Dari sini, diperoleh
b
|
(r
j
-
c
j
)
.
Karena
0
=
r
j
<
b
dan
0
=
c
j
<
b
,
maka
-
b <
r
j
-
c
j
<
b
.
Selanjutnya,
karena
b
|
(r
j
-
c
j
)
dan
-
b <
r
j
-
c
j
<
b
,
akibatnya
r
j
=
c
j
.
Kontradiksi dengan asumsi bahwa
kedua ekspansi berbeda, yang benar adalah kedua bentuk ekspansi adalah sama. Dengan
kata lain terbukti bahwa ekspansi dari a adalah tunggal.
Pada
Teorema
2.1.2.3
diperoleh
suatu
barisan
(r
k
,
r
k
-1
,K, r1
,
r
0
), yaitu
barisan
yang elemennya diperoleh dari bentuk ekspansi suatu bilangan bulat.
Definisi 2.1.2.3. (Buchmann, 2000)
Barisan
(r
k
,
r
k
-1
,K, r1
,
r
0
)
dari
Teorema
2.1.2.3
disebut dengan ekspansi b-adic dari bilangan bulat a. Elemen-elemennya disebut digits.
Bilangan
bulat
b
pada
Teorema
2.1.2.3
disebut
dengan
basis.
Jika
b
=
2,
barisannya
disebut ekspansi biner. Jika b
=
16, barisannya disebut
ekspansi heksadesimal. Barisan
(r
k
,
r
k
-1
,K, r1
,
r
0
)
dengan basis b ditulis dengan
(r
k
,
r
k
-1
,K, r1
,
r
0
)
b
atau
(r
k
r
k
-1
Kr1r
0
)
b
.
 |