15
2
k
k
k
k
k
Menggunakan persamaan (2.2) diperoleh:
a
=
b(bq1
+
r1
)
+
r
0
=
b
q1
+
r1b + r
0
.
Selanjutnya, menggunakan substitusi untuk
q1 , q2 ,...., q
k
-1
, diperoleh:
a
=
b
3
q
+
r
b
2
+
r
b
+
r
2
2
1
0
M
a
=
b
k
-1
q
+
r
b
k
-
2
+
L
+
r
b
+
r
k
-
2
k
-2
1
0
a
=
b
k
q
k
-1
+
r
k
-1
b
k
-1
+
L
+
r1b + r
0
=
r
k
b
+
r
k
-1
b
k
-1
+
L
+
r1b + r
0
dengan
0
=
r
j
<
b
untuk
j
=
0,
1,...,
k
dan
r
k
?
0
,
sebab
r
k
=
q
k
-1
adalah
sisa
terakhir
yang
tidak
nol.
Dengan
demikian
terbukti
bahwa
a
dapat
disajikan
ke
dalam
bentuk
ekspansi,
a
=
r
k
b
+
r
k
-1
b
k
-1
+
L
+
r1b + r
0
.
Selanjutnya,
untuk
membuktikan ketunggalannya, diasumsikan
terdapat dua bentuk
ekspansi dari a, yaitu:
a
=
r
k
b
+
r
k
-1
b
k
-1
+
L
+
r1b + r
0
(2.3)
dan
a
=
c
k
b
+
c
k
-1
b
k
-1
+
L
+
c1b + c
0
(2.4)
dengan
0
=
r
k
<
b
dan
0
=
c
k
<
b
. Dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh:
(r
k
-
c
k
)b
+
(r
k
-1
-
c
k
-1
)b
k
-1
+
L
+
(r
1
-
c1
)b + (r
0
-
c
0
)
= 0 .
(2.5)
Jika
persamaan
(2.3)
dan
(2.4)
berbeda,
maka
terdapat
bilangan
bulat
terkecil
j,
0
=
j = k , sedemikian hingga
r
j
?
c
j
. Berarti dari persamaan (2.5) diperoleh bentuk:
 |