28
Contoh 2.1.2.13.
1)
100 mempunyai pembagi prima yaitu 2 dan 5.
2)
23 mempunyai pembagi prima yaitu 23 sendiri.
Lemma 2.1.2.1. (Buchmann, 2000)
Jika suatu bilangan prima
membagi
hasil perkalian
dari dua bilangan bulat, maka bilangan prima tersebut membagi paling sedikit satu
faktornya.
Bukti:
Diberikan
,
a, b ? Z dan
bilangan
prima
p
yang
membagi
ab
tetapi
tidak
membagi
a.
Karena p bilangan prima, maka
gcd
(a, p)
=
1. Menurut Akibat 2.1.2.2, terdapat
x, y ? Z
sedemikian hingga 1 =
ax + py . Akibatnya
b
=
abx + pby , sehingga p membagi abx dan
pby. Menggunakan Teorema 2.1.2.1 diperoleh bahwa p merupakan pembagi dari b.
k
Akibat 2.1.2.3. (Buchmann, 2000)
Jika suatu bilangan prima p membagi
?
q
i
dengan
i
=1
q1
,
q2 ,K, q
k
adalah bilangan-bilangan prima, maka p sama dengan salah satu dari
q1
,
q2 ,K, q
k
.
Bukti:
Untuk k = 1, p jelas
merupakan pembagi dari
q1
yaitu
p
=
q1
.
Untuk
k
>
1
,
p
membagi
q1
((q
2
)(q3 )K(q
k
)
). Menggunakan Lemma 2.1.2.1 diperoleh bahwa p
membagi
q1
atau
(
q
2
)( q
3
)
K
(
q
k
)
. Jika
p
=
q1
maka bukti selesai. Jika
p
?
q1
, maka p
membagi
q2
((q
3
)K(q
k
)
)
.
Sehingga
p
membagi
q2
atau
(q3 )K(q
k
)
.
Jika
p
=
q2
maka
bukti
 |