29
selesai.
Jika
p
?
q2 ,
maka
p
membagi
q3
((q
4
)K(q
k
)
)
,
dan
seterusnya.
Dengan
demikian terdapat
q
i
,
1
=
i
=
k
sedemikian hingga
p
=
q
i
.
Teorema 2.1.2.9.
(Buchmann, 2000)
Setiap bilangan bulat
a
> 1
dapat disajikan
sebagai hasil kali dari sejumlah bilangan prima berhingga secara tunggal.
Bukti:
Akan dibuktikan menggunakan induksi. Diberikan sebarang bilangan bulat
a
> 1 . Untuk
a
=
2, maka jelas a merupakan hasil kali dari bilangan prima. Untuk
a
>
2
,
diasumsikan
benar untuk
a
-
1
dan
untuk setiap m dengan
2
=
m
=
a
-
1 Akan ditunjukkan bahwa a
. Akan ditunjukkan bahwa a
merupakan
hasil
kali
dari
sejumlah
bilangan
prima.
Jika
a
merupakan
bilangan
prima,
maka
bukti
selesai.
Jika
a
merupakan
bilangan
komposit,
maka
a
dapat
dinyatakan
sebagai
a
=
(m1 )(m2 )K(m
k
)
dengan
m
i
?
N
dan 1 <
m
i
<
a
,
1
=
i
=
k
. Menurut asumsi
yang
diambil
di
atas,
maka m
i
adalah
hasil
kali
dari
sejumlah
bilangan
prima.
Akibatnya,
a
=
(m1
)(m2 )K(m
k
)
juga
merupakan
hasil kali dari
sejumlah bilangan
prima.
Untuk
membuktikan
ketunggalannya,
misalkan
a
=
(
p1 )( p2 )K( p
r
)
dan
a
=
(q1
)(q2 )K(q
s
)
,
dengan
p1
, p2 ,K p
r
,
q1
,
q2 ,Kq
s
adalah
bilangan-bilangan
prima.
Akan ditunjukkan bahwa penyajian bilangan
bulat a adalah tunggal,
yaitu
r
=
s
.
Diasumsikan
benar
untuk
setiap
m
dengan
2
=
m
=
a
-
1
.
Karena
a
=
(
p1
)( p2 )K( p
r
)
=
(q1
)(q2 )K(q
s
)
,
maka
p1
membagi
(q1
)(q2 )K(q
s
)
.
Menggunakan
Akibat
2.1.2.3,
diperoleh
bahwa
p1 adalah
salah
satu
dari
q1
,
q2 ,Kq
s
.
Tanpa mengurangi keumuman, diambil
p1 =
q1
.
Berdasarkan asumsi induksi, faktorisasi
 |