32
Definisi 2.1.3.3. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
sebarang
himpunan
tidak kosong G dan
operasi
biner
“*”
pada
G,
maka
G
disebut
grup
terhadap
operasi
biner
“*”
dan
ditulis
(G,*) jika dipenuhi:
1. Operasi biner “*” pada G bersifat assosiatif,
2. Terdapat
dengan
tunggal
elemen
identitas
yaitu
e
?
G
sedemikian
hingga
untuk setiap
a
?
G
berlaku
e
*
a
=
a
*
e
=
a
,
3. Untuk
setiap
a
?
G
terdapat
elemen
inversnya,
yaitu
a
-1
?
G
sedemikian
hingga berlaku
a
*
a
-1
=
a
-1
*
a
=
e
.
Suatu
grup
(G,*)
disebut Abelian
jika operasi binernya bersifat komutatif. Selanjutnya,
grup
(G,*) dapat dituliskan dengan G apabila operasi binernya telah diketahui.
Definisi 2.1.3.4. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
grup
G
dan
subset
tak
kosong
H
?
G
.
Subset
H
disebut
subgrup
G
jika
terhadap
operasi
biner
yang
sama
pada
G,
maka
H
membentuk grup, ditulis
H
<
G
.
Selanjutnya diberikan beberapa definisi dan teorema yang menjelaskan sifat-sifat
grup dan elemen grup. Seperti subgrup, order, grup siklik, pembangun, koset dan
subgrup normal. Diberikan grup G dan subset tak kosong
H
?
G
.
Teorema 2.1.3.5. (Fraleigh, 2000)
Subset
tak
kosong
H
merupakan
subgrup
G
jika
dan hanya
a
*
b
-1
?
H
, untuk setiap
a, b ? H .
 |