46
) adalah gelanggang komutatif dengan uniti.
kanan,
yaitu
a
(b + c)
=
a
(b + c)
=
a
(b + c)
=
ab + ac =
ab + ac = (a)(b) + (a)(c)
dan
(a + b)c = (a + b)c = (a + b)c =
ac + bc =
ac + bc = (a)(c) + (b)(c) .
Dapat
ditunjukkan
operasi pergandaan bersifat komutatif,
yaitu
(a)(b) =
ab = ba = (b)(a) . Selanjutnya,
terdapat
1
?
Z
mZ
sedemikian
hingga
(a)(1) =
a1 =
a
dan
(1)(a) = 1a =
a
.
Dengan
demikian terbukti bahwa
(
Z
,+,· adalah gelanggang komutatif dengan uniti.
mZ
C.
Pembagian pada Gelanggang Bilangan Bulat Modulo
Pada pembahasan
mengenai sifat divisibilitas pada bilangan bulat
(Definisi
2.1.2.1), sifat
ini dapat diterapkan pada elemen-elemen
gelanggang. Sifat
tersebut
dijelaskan pada Definisi 2.1.4.3 di bawah ini.
Definisi 2.1.4.3. (Buchmann, 2000)
Diberikan
gelanggang
(R,+,·)
dan
a, n ? R .
Elemen a dikatakan
membagi n jika
terdapat
b
?
R
sehingga
n
=
ab . Elemen a dengan
sifat seperti ini disebut pembagi (divisior) n dan n disebut kelipatan (multiple) a. Elemen
a yang membagi n dituliskan dengan
a
|
n
.
Selanjutnya, akan diselidiki elemen-elemen dari
Z
m
mana saja
yang
merupakan
unit,
yaitu
mempunyai
invers
terhadap
operasi
pergandaan.
Perlu
diperhatikan
bahwa
a
?
Z
m
merupakan
unit
dalam Z
m
sama
halnya
dengan
mengatakan
bahwa
persamaan
kongruen,
ax = 1
(mod m)
(2.7)
mempunyai
penyelesaian
untuk
a, x ? Z
m
.
Untuk
selanjutnya,
pernyataan
invers
yang
dimaksud adalah invers terhadap operasi pergandaan.
 |