45
(
)
)
(
Gambar 2.4. Hubungan antara
Z
,
Z
mZ
dan
Z
m
Selanjutnya, pada
himpunan
Z
m
atau
Z
mZ
dapat dibentuk
gelanggang dengan operasi
biner pergandaan sebagai berikut. Untuk sebarang
a, b ?
Z
mZ
,
(a)(b) =
ab .
Diketahui
bahwa
(Z ,+,·) adalah gelanggang komutatif dengan uniti 1.
Teorema 2.1.4.3. (Buchmann, 2000) Jika
m
adalah
bilangan
bulat
dengan
m > 1 ,
maka
(Z
m
,+,·
)
adalah gelanggang komutatif dengan uniti 1 ? Z
m
.
Selanjutnya, gelanggang
Z
m
seperti ini disebut dengan gelanggang bilangan bulat modulo m.
Teorema 2.1.4.4. (Buchmann, 2000) Jika
m
adalah
bilangan
bulat
dengan
m > 1 ,
maka
Z
,+,·
mZ
adalah
gelanggang
komutatif
dengan
uniti
1
=
1
+
mZ .
Selanjutnya,
gelanggang seperti ini disebut dengan residue class ring modulo m.
Bukti:
Diketahui bahwa
(
Z
m.Z
,+
)
adalah
grup. Diambil sebarang
a, b, c ?
Z
mZ
. Karena
a
+
b
=
a
+
b
=
b
+
a
=
b
+
a
,
maka
Z
,+
mZ
Abelian.
Selanjutnya,
karena
a
((b)(c))
=
a
(bc)
=
a
(bc)
=
(ab)c =
(ab)c = ((a)(b))c , diperoleh bahwa operasi pergandaan
bersifat
assosiatif.
Dapat
ditunjukkan
bahwa
memenuhi
distributif
kiri
dan
distributif
 |