44
)
)
(
ab =
(ab)
(mod m)
.
Jelas
bahwa
kedua
operasi
tersebut
merupakan
operasi
biner
pada
Z
m
.
Selanjutnya,
himpunan Z
m
yang
dilengkapi
dengan
operasi
penjumlahan
modulo
dapat membentuk grup
(Z
m
,+
) dengan
0
?
Z
m
adalah elemen identitas
Z
m
.
Diberikan
grup
(Z ,+
)
dengan
“+”
adalah
operasi
penjumlahan
biasa
pada
himpunan bulat.
Didefinisikan pemetaan f
:
Z
?
Z
m
dengan aturan bahwa
untuk
setiap
x
?
Z
,
f
(
x) =
x
mod m .
Dapat
ditunjukkan
bahwa
f
merupakan
homomorfisma
grup
dengan
f
[Z
]
=
Z
m
ker(f ) = { x ? Z :
f
(x)
=
0
}
=
{mz : z ?
Z
}
=
mZ .
dan
Selanjutnya,
menggunakan
Teorema
2.1.3.2
(teorema
fundamental
homomorfisma) dapat dibentuk grup faktor
(
Z
,+
dengan
Z
mZ
mZ
=
{a + mZ : a ? Z
}.
Dengan
memperhatikan
Definisi
2.1.4.2,
dapat
dilihat
bahwa
Z
mZ
merupakan
himpunan semua residue class mod m. Definisi operasi penjumlahan pada
Z
mZ
adalah
sebagai
berikut,
untuk
sebarang
a, b ?
Z
mZ
,
maka
a
+
b
=
a
+
b
.
Lebih
lanjut,
dapat
dibentuk suatu isomorfisma
µ
:
Z
mZ
?
Z
m
dengan aturan untuk sebarang
a
?
Z
mZ
,
µ
(a)
=
µ
(a + mZ
) = f (a).
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa grup
(
Z
,+
isomorfis dengan
Z
mZ
m
,+
)
.
 |