49
)
Teorema 2.1.4.6 (Buchmann, 2000)
Gelanggang
(Z
m
,+,·
)
merupakan
lapangan
berhingga jika dan hanya jika m adalah bilangan prima.
Bukti:
?
Andaikan
m
bukan
bilangan
prima,
maka
m
=
ab
dengan
1
<
a,
b <
m
-
1
.
Karena
Z
m
merupakan lapangan, maka setiap elemen tak nolnya pasti mempunyai invers.
Misalkan
c
adalah
invers
dari
b,
berarti
bc = 1
(mod m)
dan
abc =
a
(mod m)
.
Karena
m
=
ab , maka
ab =
0
(mod m)
, akibatnya
0
=
a
(mod m)
. Timbul kontradiksi dengan
pengandaian di atas, yang benar m merupakan bilangan prima.
?
Diketahui m adalah bilangan prima. Karena
Z
m
merupakan
gelanggang,
maka akan
dibuktikan
bahwa
setiap
elemen
tak
nol
mempunyai
invers.
Karena
m
adalah
bilangan
prima,
maka
gcd
(m, a)
=
1, untuk
0
<
a
<
m
.
Akibatnya terdapat bilangan bulat x dan y
sedemikian
hingga
xm +
ya = 1
yang berarti
ya = 1
(mod m) diperoleh
, diperoleh
y
=
a
-1
(mod m)
.
Jadi terbukti bahwa setiap elemen
tak
nolnya
mempunyai
invers.
Dengan kata
lain,
Z
m
adalah lapangan berhingga.
Oleh
karena
itu
residue
class
ring
modulo
m
(
Z
,+,·
mZ
juga
merupakan
lapangan
berhingga
jika
dan
hanya
jika
m
adalah
bilangan
prima.
Untuk
selanjutnya,
lapangan seperti ini disebut dengan residue class field modulo m.
D.
Grup Pergandaan Bilangan Bulat Modulo
Teorema 2.1.4.7. (Buchmann, 2000) Himpunan
semua
unit
dalam Z
m
yang
dilengkapi
dengan operasi pergandaan membentuk suatu grup Abelian berhingga.
 |