50
?
)
(
)
(
)
Bukti:
Karena
himpunan
ini
merupakan
himpunan
semua
unit
dalam
Z
m
,
maka
dengan
sendirinya teorema ini terbukti.
Untuk selanjutnya,
grup
seperti dijelaskan pada
Teorema 2.1.4.7 disebut dengan
grup
pergandaan
bilangan
bulat
modulo
m
dan
dinotasikan
dengan
(Z
m
,*
)
.
Dengan
demikian dapat ditulis bahwa
(Z
m
,*
)
=
{a
?
Z
m
:
gcd
(a, m)
=
1
}.
Contoh 2.1.4.5.
Diberikan
gelanggang
Z
5
.
Karena 5
adalah bilangan prima,
maka
Z
5
adalah
lapangan.
Selanjutnya,
menggunakan
sifat
lapangan
diperoleh
bahwa
setiap
elemen
dalam
Z
5
kecuali
nol
pasti
mempunyai
invers.
Dengan
kata
lain,
setiap
elemen
merupakan unit. Jadi,
(Z
5
,*
)
=
{1,2,3,4}.
Z
5
kecuali
nol
Selanjutnya, dapat dibentuk grup
Z
,*
mZ
yaitu grup pergandaan yang
elemennya
merupakan semua
unit dalam
gelanggang
(
Z
,+,·
.
Grup
Z
mZ
,*
seperti
mZ
ini disebut dengan multipilcative group of residues modulo m.
Berikut
ini dijelaskan suatu
fungsi
yang
menyatakan order dari
grup pergandaan
bilangan bulat modulo m,
(Z
m
,*
)
. Didefinisikan fungsi
?
:
N
?
N
dengan:
?
(m) =
?
1
,
m
=
1
?
order
(Z
m
,*
)
,
m
>
1
Fungsi ? seperti
ini
disebut
dengan
Euler
?-function.
Dengan
demikian,
banyaknya
a
?
{1,2,K, m}
dengan
gcd
(a, m)
=
1.
?
(m)
adalah
 |