18
hal
tersebut adalah ben ar
untuk (G,
), maka
dap at dikatakan
bahwa
(G,
) adalah
abelian.
Berikut
ini adalah dua sif at p enting dari
grup .
1. Sebuah grup
memilik i tep at satu elemen id entitas.
Bukti: Sebu ah
grup
(G, ), dan an ggap
e
dan
e’ ad alah
elemen
identitas
dari G (G
memp uny ai p aling tidak
satu elemen
identitas
dari definisi
grup ). Lalu, e e’ = e,
karena e’ adalah elemen id entitas. Di p ihak lain, e
e’ = e’, kar ena e adalah elemen
identitas. M aka, e = e’ karen a masin g- masin g ad alah sama p ada e
e’.
2. Jika
(G,
)
adalah
sebu ah grup ,
maka
masin g- masin g g
G
memiliki
tep at
satu
invers.
Bukti:
Pada g G, dan anggap
g1, g2 adalah
invers
dari G
(p alin g tidak p ada satu
invers
dari
defin isi
grup );
maka, g
g1 = g1 g =
e
d
an g g2 =
g2 g =
e.
Dengan sif at asosiatif, (g1 g) g2 = g1 (g
g2). Karena g1 adalah invers dar i g,
(g1 g)
g2 = e
g2 = g2. Karena g2 ad alah
invers d ari g, g1 (g g2) = g1 e
=
g1. M aka, g2 = g1.
Secara
umum, inv ers dari
g ditulis sebagai
g
-1
. Tetap i, jika
diketahui
bahwa
op erasi grup adalah p enjumlahan, maka inv ers dari g ditulis sebagai –g.
Tabel 1.1 Penjumlahan modulo 4 (4Z/Z)
Sumber: Chen, 2004, p6
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Tabel 1.1 adalah tabel p enjumlahan modu lo 4, y ang terdiri d ari elemen: 0, 1, 2, dan 3.
 |