33
Untuk
memberikan defin isi
y
ang formal, dip erlukan suatu
notasi. Jika S1 dan S2
adakah dua sets, maka S1
S2 adalah set d ari p asangan y ang berurutan (s1, s2) den gan s1
S1 dan s2
S2. Berikut
ini beber ap a definisi dar i group actions.
1. Sebuah group actions (kanan) p ada
sebuah
grup (G,
) p ada
sebuah set
A
(tak
kosong) adalah sebuah p emetaan A
G
Æ
A
(diberikan a
A
dan g
G, dap at
dihasilkan elemen lain dari A, y ang
ditulis sebagai
g a) memenuhi
du a
sifat
berikut.
-
g2
(g1
a) = (g2
g1)
a untuk setiap g1, g2
G
dan a
A.
-
e
a
=
a, untuk a
A
(e adalah elemen
identitas dari G).
Hal
ini
lebih
merup akan
aksi
kanan
darip ada
aksi
kiri
karena
elemen-elemen grup
diletakkan di k anan.
Pada
kondisi p ertama, g1
a
A, seh ingga
g2
(g1
a) adalah
mun gkin.
Sebalikny a, g2g1
G, sehingga (g1g2)
a juga adalah mun gkin.
Ap abila
dimilik i
sebuah
group
actions
dari
G
p
ada sebuah
set
A,
cukup
dikatakan
sebagai “G beraksi p ada A.”
2. Jika G ber aksi p ada A,
maka orbit p ada a
A
(di bawah aksi
ini) adalah sebu ah set
{g
a : g
G}.
3. Jika
sebuah group actions hany a
memiliki
sebuah orbit, d ikatakan bahwa aksi
tersebut adalah transitif (atau grup beraksi secara transitif).
4. Anggap bahwa
sebuah
grup berhingga
G ber aksi
p
ada
A, dan an ggap S adalah
sebuah
set p ada g enerators
dari
G.
An ggap
P
ad alah
p
rop erti
sehingga p erny ataan
berikut adalah b enar:
Ap abila a
A
memenuhi P d an s
S, a
s
juga memenuhi P.
 |