15
Dalil 2:
Jika A dan
B dua
matriks
tak singular,
maka AB tak
singular dan
(AB)
-1
=
B
-1
A
-1
Bukti:
Apabila
kita
dapat
menunjukkan
bahwa
(AB)
·
(B
-1
A
-1
)
=
(B
-1
A
-1
)·
(AB)
=
I
,
maka kita telah menunjukkan kedua hal tersebut di atas.
Perhatikan bahwa karena A dan B tak singular, maka
A
-1
dan
B
-1
ada, juga:
AB ·
(B
-1
A
-1
)
=
((AB)
·
B
-1
)· A
-1
= A
·
(B · B
-1
)· A
-1
= A
·
I
·
A
-1
= A
·
A
-1
=
I
Dengan cara yang sama,
(B
-1
A
-1
)· AB = ((B
-1
A
-1
)· A)· B =
B
-1
·
(A
-1
·
A
)· B =
B
-1
·
I
·
B
=
B
-1
·
B
=
I
Dalil
di
atas
dapat
diperluas
untuk
tiga
(atau lebih)
buath matriks.
Jadi
akan
didapat hal berikut:
Perkalian dari matriks-matriks tak singular akan menghasilkan matriks tak
singular. Invers dari perkalian matriks sama
dengan perkalian invers masing-masing
matriks dengan urutannya dibalik.
Contoh 16
?
3
2
?
?
8
5
?
?
30
19
?
A
=
?
1
?, B = ?
1
3
?, AB = ?
2
11
?
.
Dengan
memakai
cara
menentukan
7
?
?
?
?
?
?
invers
matriks
2
× 2
seperti
pada
contoh
sebelumnya,
didapat:
?
1
-
2
?
?
2
-
5
?
?
7
-
19
?
A
-1
= ?
?
,
B
-1
=
?
?
,
dan
(AB)
-1
= ?
?
.
Juga
didapat,
?
-
1
3
?
?
-
3
8
?
?
-
11
30
?
 |