24
?
1
1
?
?
4
0
?
?
persamaan
karakteristik,
sedangkan
suku
banyak
|?I-A|
disebut
suku
banyak
karakteristik. Akar-akar dari persamaan ini adalah nilai eigen.
Untuk
mencari
vektor eigen, kita
mensubtitusi
nilai eigen
yang sudah didapat ke
dalam
persamaan
Av = ?v ,
atau
kernel
dari
(?I
-
A)
,
yaitu
(?I -
A
)v =
0
.
Maka
kita
akan dapat
mencari v yaitu
vektor eigen
yang bersesuaian dengan
nilai eigen
?
.
Ruang
jawab dari sistem persamaan linear
(?I -
A
)v = 0
disebut ruang karakteristik dari A yang
berkorespondensi dengan ?.
Catat bahwa kita tidak memasukkan vektor nol( 0 ) kedalam vektor eigen, karena
vektor
nol adalah solusi trivial
untuk
Av = ?v
dan
tidak terlalu penting
untuk dibahas.
Sebagai
tambahan,
jika
vektor
nol
diikutkan,
maka
akan
ada
tidak
berhingga
banyak
nilai eigen, karena setiap nilai
?
memenuhi
A0 =
?
0
.
Contoh
22
Misalkan
kita
ingin
mencari
nilai
eigen
untuk
matriks
?
0
1
?
A
=
?
1
1
?
-
1
0
-
1?
?
0
?
.
?
?
Pertama kita hitung suku banyak karakteristik untuk matriks A:
?
?
?
p( x) = det(?I -
A) = det
?
-
1
-
1
?
-
1
1
?
?
0
?
= ?
3
-
2?² - ? + 2
?
?
-
1
?
Suku
banyak
tersebut
dapat
difaktorisasi
menjadi p(?) =
(?
-
2)(?
-
1)(?
+
1).
Maka nilai eigen dari A adalah 2,1, dan -1.
Contoh 23: Cari nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks
?
1
-
3
3
?
?
?
A
=
?
3
-
5
3
?
?
6
-
6
?
 |