29
A
Teorema 1
Misalkan
A,B,S
adalah
matriks
berukuran
n
×
n
.
Bila
B
=
S
-1
AS ,
maka
nilai
eigen dari matriks A dan B adalah sama.
Bukti:
Cukup
dibuktikan
bahwa
A
dan
B
memiliki
suku
banyak
karakteristik
yang
sama.
Untuk t sembarang,
p
B
(t ) =
det(tI - B) =
det(tS
-1
S
-
S
-1
AS ) =
det S
-1
(tI -
A)S
=
det S
-1
det(tI -
A)
det S
=
(det S )
-1
det S det(tI -
A) =
det(tI -
A) = p
(t )
Teorema 2
Misalkan
A,B,S
adalah
matriks
berukuran
n
×
n
.
Bila
B
=
S
-1
AS ,
dan
x
?
C
n
merupakan
vektor eigen dari
matriks
B
yang berkorespondensi dengan
?
?
s
(B) ,
maka
Sx merupakan vektor eigen dari matriks A yang berkorespondensi dengan
?
.
Bukti:
Karena
B
=
S
-1
AS
dan
Bx = ?x , maka
S
-1
ASx = ?x
atau
ASx = ?Sx . Juga
karena
S
tidak
singular
dan
x
?
0
,
Sx ?
0
,
maka
Sx
merupakan
vektor
eigen
dari
matriks A.
Salah satu cara menyelesaikan masalah nilai eigen dengan transformasi seperti di
atas adalah metode QR. Dasar dari
metode QR
untuk
mencari
nilai eigen dari
matriks A
adalah fakta bahwa matriks real
n
×
n
dapat ditulis menjadi:
A = Q R , dengan QR adalah faktorisasi dari A
 |