31
Langkah ketiga:
Pertama set A3
=
R2Q2; lalu
faktorkan A3
sebagai A3
=
Q3R3
(faktorisasi QR dari
A3)
Langkah ke-m:
Set A
m
= R
m-1
Q
m-1
;
lalu faktorkan A
m
sebagai A
m
=
Q
m
R
m
(faktorisasi QR dari A
m
)
Pada
langkah ke-k, matriks A
k
kita dapat, pertama dengan
menggunakan
Q
k-1
dan
R
k-1
dari
langkah
sebelumnya;
kedua,
A
k
difaktorkan
menjadi
Q
k
R
k
.
Jadi
faktorisasi
QR
terjadi di setiap
langkah. Matriks A
m
akan condong
menjadi
matriks segitiga atau
hampir
segitiga. Jadi nilai eigen dari A
m
akan menjadi mudah dihitung.
Teorema 3
Misalkan A adalah
matriks segitiga atas/bawah berukuran
n
×
n
.
Nilai eigen dari
matriks A adalah elemen-elemen diagonal dari matriks A.
Bukti:
?
a
×
×
×
×
?
Misalkan
?
11
?
0
A
=
?
0
?
?
M
?
a
22
0
M
×
×
a
33
×
M
O
?
×
?
×
?
adalah
matriks
segitiga
atas.
Maka
?
M
?
?
?
0
0
0
L
a
nn
?
persamaan karakteristiknya adalah
?
-
a
11
0
0
M
0
×
?
-
a
22
0
M
0
×
×
?
-
a
33
M
0
×
×
×
×
×
×
O
M
L
?
-
a
nn
=
0
.
Dengan
menguraikan determinan, kita dapat
(? - a
11
)(? - a
22
)L(? - a
nn
)
=
0
.
 |