19
b
Sebuah
contoh
standar
dalam
mencari
jalur
terpendek
dari
dua
buah
titk
pada
bidang
datar. Asumsikan bahwa kedua titik tersebut dihubungkan oleh (a,c)
dan
(b,d).
Panjang jalur y = f(x) di antara kedua titik ini adalah:
2
?
dy
?
L
=
?
1+
?
?
dx
(2.6.3)
a
?
dx
?
Persamaan Euler-Lagrange akan meluas menjadi persamaan diferensial :
2
d
1+
?
dy
?
=
0
?
dy
=
C
(2.6.4)
?
?
dx
?
dx
?
dx
Dengan kata lain, sebuah garis lurus.
Pembuktian persamaan Euler-Lagrange
Derivatif
persamaan
Euler-Lagrange satu dimensi
merupakan
pembuktian
klasik
dalam
bidang
Matematika.
Pembuktian
ini
bergantung
pada
lemma
fundamental
kalkulus variasi.
Kita ingin mencari sebuah fungsi f yang memenuhi syarat batas f(a) = c, f(b) = d,
b
yang menjadikan fungsional
J
=
?
F(x, f(x),
f'(x))dx
ekstremum.
a
Kita asumsikan bahwa F mempunyai derivatif pertama yang
kontinu. Jika f
mengekstremumkan fungsional
J dengan
syarat-syarat
batas
di
atas,
maka
setiap
perubahan kecil dari f yang membuat nilai-nilai batas
bernilai tetap
juga
harus
 |