20
?
0
?
a
?
meningkatkan nilai J (jika f adalah sebuah minimizer) atau
mengurangi
J
(jika
f
adalah
maximizer).
Misalkan ?(x) adalah sebuah fungsi yang diferensiabel yang
memenuhi
syarat ?(a) = ?(b) = 0. kemudian tentukan
b
J(e
)
=
?
F(x, f(x)
+
e?(x), f '(x) + e?'(x))dx
a
(2.6.5)
Karena J(0)
merupakan jumlah dari f, sebuah nilai ekstrem, hal ini
mengakibatkan J'(0) = 0, misalnya
b
J'(0) =
?
?(x)
?F
+ ?'(x)
?F
?
=
0
(2.6.6)
?
?
?f
?f'
?
Langkah
penting
berikutnya
adalah
menggunakan
integral
parsial
pada
bentuk yang kedua sehingga persamaan di atas menjadi
b
?
?F
d ?F
?
?
?F
?
b
0
=
?
?
-
?
?(x)dx +
?
?(x)
?
(2.6.7)
a
?
?f
dx ?f'
?
?
?f'
?
a
Dengan menggunakan syarat-syarat batas pada ?, kita memperoleh
b
?
?F
d
?
?
-
?F
?
?
(
x)dx
(2.6.8)
a
?
?f'
dx ?f'
?
Dengan
menggunakan
lemma
fundamental
kalkulus
variasi,
diperolehlah
persamaan Euler-Lagrange :
 |