16
Untuk sembarang bilangan bulat m dan n, serta bilangan asli a dan b. Persamaan
m . a + n . b = 1 dapat terpenuhi, jika dan hanya jika a dan b saling relatif prima. Bukti:
•
Misal, FPB(a, b) = f.
•
Karena f merupakan FPB dari a dan b, maka f habis membagi a dan b.
•
Misal hasil bagi dari a terhadap f adalah x, sehingga x adalah bilangan asli.
•
Misal hasil bagi dari b terhadap f adalah y, sehingga y adalah bilangan asli.
•
Persamaan m . a + n . b = 1 dapat diuraikan menjadi:
m . (f . x) + n . (f . y) = 1
(f . m . x + f . n . y) = 1
f (m . x + n . y) = 1
(m.x + n.
y) =
1
f
Karena m,
n, x,
dan y
adalah bilangan bulat,
maka
hasil dari (m
.
x
+
n
.
y)
pasti
adalah bilangan bulat. Supaya persamaan tersebut di
atas dapat
terpenuhi,
maka
nilai f harus sama dengan 1. Hal
ini dikarenakan jika f ? 1 maka nilai dari (m . x
+
n
.
y) tidaklah berbentuk bilangan bulat. Jadi
nilai f atau FPB(a, b)
harus sama
dengan 1, atau dengan kata lain a dan b saling relatif prima.
Contoh:
•
Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena FPB(20, 3) = 1, atau dapat ditulis
2 . 20 + (–13) . 3 = 1, dengan m = 2 dan n = –13.
•
Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima, karena FPB(20, 5) = 5 ? 1, 20 dan 5 tidak
dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.
 |