34
Definisi 2.1.3.9. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
grup
(G,*)
dan
(G ,*
'
'
). Suatu pemetaan
f
:
G
?
G
'
disebut homomorfisma grup jika untuk setiap
a, b ? G ,
f(a*b) =f(a) *
'
f(b)
Selanjutnya, jika f bersifat
injektif
maka
f
disebut monomorfisma grup. Jika f bersifat
surjektif,
maka f disebut epimorfisma grup. Jika f bersifat bijektif,
maka disebut
isomorfisma grup. Jika
terdapat
isomorfisma dari G ke G
’
,
maka G dikatakan isomorfis
dengan G
’
,
ditulis
G
?
G
'
.
Selanjutnya, dengan memahami sifat isomorfisma, dapat disimpulkan bahwa jika
G
?
G
'
maka
G
dan
G
’
mempunyai
struktur
yang
identik.
Dengan
demikian,
untuk
menyelidiki G
’
cukup dengan menyelidiki G, dan juga sebaliknya.
Definisi 2.1.3.10. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
f
:
G
?
G ,
' ,
dan
diberikan
A
?
G
dan
B
?
G . Peta A adalah himpunan f
' . Peta A adalah himpunan f
[A]
=
{f (a):a? A}. Range f
adalah himpunan f
[G].
Prapeta
yaitu
f
-1
[B]
=
{
x
?
G
:
f(x)? B
}.
Jika
e
'
adalah
elemen
identitas
grup
G
’
,
maka f
-1
[{e'}] = {
x
?
G
:
f(x) = e
’
}
disebut kernel f, ditulis ker(f ).
Dapat dilihat
bahwa
homomorfisma
f
akan
bersifat
injektif
apabila
ker(f ) =
{e},
dengan
e
adalah
elemen identitas grup G, dan akan bersifat surjektif apabila f
[G]
=
G .
' .
Berikut
ini
diberikan
pengertian
tentang
suatu
grup
yang
disebut
dengan
grup
faktor.
Selanjutnya,
pada
grup
ini
dapat
dibentuk
suatu
isomorfisma
dengan peta
isomorfismanya.
 |