38
n
n
dan
(r
1
,
r2 ,K, r
n
)
·
(s
1
,
s2 ,K, s
n
) = (r
1
·
s1
,
r2
·
s2 ,K, r
n
·
s
n
)
.
Dapat ditunjukkan bahwa
(
R,+,·
)
merupakan gelanggang.
Selanjutnya,
diberikan
pengertian
tentang
suatu
gelanggang
yang
dibentuk
dari
suatu
himpunan yang elemen-elemennya
merupakan polinomial,
gelanggang
ini disebut
dengan gelanggang polinomial. Lebih jelasnya diberikan pada definisi berikut ini.
Definisi 2.1.3.17. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
gelanggang
R
dan
suatu
simbol
x
yang
disebut indeterminit. Suatu polinomial
f
(
x)
dengan koefisien dalam R adalah
8
f
(
x) =
?
(a
i
)
x
=
a
0
+
(a1
)
x
+
K
+
(a
n
)
x
+
K
i
=0
dengan
a
i
?
R
,
dan
a
i
?
0
untuk
nilai-nilai
i
yang
banyaknya
berhingga,
sedangkan
yang lainnya semuanya nol. Elemen
a
i
?
R
disebut koefisien-koefisien dari
f
(
x) .
Teorema 2.1.3.3. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
R
[x]
yaitu
himpunan
semua
polinomial
dalam x dengan koefisien dalam
gelanggang R.
Himpunan
R
[x]
merupakan
gelanggang
terhadap operasi biner penjumlahan polinomial dan pergandaan polinomial. Untuk setiap
f
(
x), g ( x) ?
R
[x]
,
yaitu
f
(
x) = a
0
+
(a1
)
x
+
K
+
(a
n
)
x
n
+
K
dan
g
(
x) = b
+
(b ) x + K + (b
)
x
n
+
K maka:
, maka:
0
1
n
f
(
x) +
g
(
x) = c
0
+
(c1
)
x
+
K
+
(c
n
)
x
n
+
K
dengan
c
=
a
n
+
b
n
,
0
1
n
n
n
?
i
n-i
f
(
x) · g ( x) =
d
+
(d
)
x
+
K
+
(d
)
x
n
+
K
dengan
d
=
i
=0
(a
)b
.
 |