39
Jika R adalah gelanggang komutatif, maka
R
[x]
merupakan gelanggang komutatif.
Gelanggang
R
[x] seperti ini disebut dengan gelanggang polinomial atas R.
Selanjutnya, diberikan konsep pembagi nol, daerah integral dan homomorfisma
gelanggang
dan
lapangan.
Sama
halnya
seperti
pada
homomorfisma
grup, pada
homomorfisma
gelanggang
ini
juga
merupakan pemetaan
antar
gelanggang dan bersifat
mengawetkan operasi.
Definisi 2.1.3.18. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
gelanggang
komutatif
R
dan
a
?
R
,
a
?
0
.
Elemen
a
disebut
pembagi
nol
jika
terdapat
b
?
R
,
b
?
0
sedemikian
hingga
ab =
0
.
Suatu gelanggang R disebut daerah integral jika operasi pergandaannya bersifat
komutatif,
memuat
uniti dan tidak memuat pembagi nol. Jadi,
untuk suatu daerah
integral R, jika
ab = 0
maka
a
=
0
atau
b
=
0
dengan
a, b ? R .
Definisi 2.1.3.19. (Fraleigh, 2000)
Diberikan
gelanggang
(R,+,·)
dan
(R ,+
'
'
,·
'
). Suatu
pemetaan f
:
R
?
R
'
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk sebarang
a, b ? R .
1. f
(a + b) = f (a)
+
'
f
(b)
.
2. f
(a · b)
= f
(a)
·
'
f
(b)
.
Selanjutnya,
jika
f
bersifat
injektif,
maka
f
disebut
monomorfisma
gelanggang,
jika
f
bersifat
surjektif,
maka
f
disebut
epimorfisma
gelanggang
dan
jika
f
bersifat
bijektif, maka f disebut isomorfisma gelanggang.
 |