61
2
2
i
Contoh 2.1.4.10. (Buchmann, 2000)
Diberikan
grup
G
=
(Z
101
,*
). Grup
ini
mempunyai order 100 = (2 )(5 ). Diketahui
2
2
e(2) =
e(5) =
2.
Akan dihitung order dari 2. Pertama, dihitung nilai
f
(
p)
menggunakan
Teorema 2.1.4.16, diperoleh:
2
(
2)(5 )
=
2
50
=
100
(mod101).
Oleh karena itu
f
(2) = 0
. Selanjutnya,
Oleh karena itu
2
(
2 )(5)
=
2
20
=
95
(mod101).
f
(5) = 0 , jadi order dari
2
?
(Z
101
,*
)
adalah 100.
Selanjutnya,
Akibat
2.1.4.2
di
bawah
ini
dapat
digunakan
untuk
menunjukkan
bahwa suatu bilangan bulat
merupakan order
g
?
G
atau
tidak.
Hal
ini penting karena
digunakan untuk menentukan pembangun dari suatu grup siklik.
Akibat 2.1.4.2. (Buchmann, 2000)
Diberikan
n
?
N
.
Jika
g
n
=
1
dan
n
g
p
?
1
untuk
setiap p yaitu pembagi prima dari n, maka n adalah order dari g.
Bukti:
Diketahui
n
?
N
,
g
?
G
dan
g
n
=
1
.
Misalkan
k
n
=
?
p
e( p
i
)
adalah
faktorisasi
prima
i
=1
dari
n. Karena
n
g
p
i
?
1,
untuk
setiap
i
,
1
=
i
=
k
,
maka
f
(
p
i
)
=
0
.
Menggunakan
Teorema 2.1.4.16 diperoleh bahwa n adalah order g.
 |