64
Akibat 2.1.4.3. (Buchmann, 2000)
Jika
f
(
x) ? F x]
[x]
adalah
polinomial
tidak
nol
dan
jika a adalah pembuat nol
f
(
x) , maka
f
(
x) = (
x
-
a)q(
x)
dengan
q( x) ? F
[x].
Bukti:
Menggunakan
Teorema
2.1.4.17,
terdapat
polinomial
q( x), r ( x) ? F
[x]
dengan
f
(
x) = (
x
-
a)q(
x) + r
(
x)
dan
r
(
x) = 0
atau
deg
(r( x))
<
1
.
Akibatnya
0 = f (a) =
r(
x)
sehingga diperoleh
f
(
x) = (
x
-
a)q(
x) .
Contoh 2.1.4.14. (Buchmann, 2000) Polinomial
x
+
1
?
Z
2
[
x
]
mempunyai
elemen
pembuat nol yaitu 1, dan
x
2
+
1
=
(x - 1)
2
.
Akibat 2.1.4.4. (Buchmann, 2000)
Polinomial
paling banyak
deg
( f ( x)) pembuat nol.
f
(
x) ? F x],
[x],
f
(
x) ?
0
mempunyai
Bukti:
Akan
dibuktikan
menggunakan
induksi
pada
n
=
deg
( f ( x))
.
Untuk
n
=
0
jelas
benar
berlaku,
sebab
f
(
x) ? F x]
[x]
dan
f
(
x) ?
0
.
Selanjutnya,
diberikan
n
>
0
.
Jika
f
(
x)
tidak
mempunyai
pembuat
nol,
maka
jelas
pernyataan
benar.
Jika
f
(
x)
mempunyai
pembuat
nol,
misalkan a adalah pembuat
nol
f
(
x) , menggunakan
Akibat 2.1.4.3
berakibat
bahwa
f
(
x) = (
x
-
a)q(
x)
dan
deg
(q( x))
=
n
-
1
.
Menggunakan
asumsi
induksi,
diperoleh
bahwa
q( x)
mempunyai
paling
banyak
n
-
1
pembuat
nol.
Dengan
kata lain,
f
(
x)
mempunyai paling banyak n pembuat nol.
 |