65
K.
Grup Unit atas Lapangan Berhingga
Diberikan
lapangan berhingga F yang
memuat sebanyak q elemen. Didefinsikan
suatu
grup
(F ,*)
,
yaitu
grup
yang
elemennya
adalah
semua
unit
dalam
lapangan
F
dengan
operasi
biner
pergandaan
dalam
F.
Grup
(F ,*)
mempunyai
order
q
-
1
,
sebab
setiap
elemen
tak
nol
dalam
F
merupakan
unit.
Selanjutnya,
grup
(F ,*)
seperti
ini
disebut dengan grup unit (unit group).
Teorema 2.1.4.18. (Buchmann, 2000)
Diberikan
lapangan
berhingga
F
yang
memuat
q
elemen.
Jika
d
adalah
bilangan
bulat
positif
yang
membagi
q
-
1
,
maka
terdapat ?
(d )
elemen dengan order d dalam grup unit
(F ,*)
.
Bukti:
Diberikan bilangan bulat d yang
membagi
q
-
1 Didefinisikan ? (d )
. Didefinisikan ? (d )
adalah banyaknya
elemen
berorder
d
dalam
F.
Diasumsikan
bahwa
?
(d ) > 0 ,
akan
dibuktikan
bahwa
?
(d ) = ?
(d ) . Diberikan a adalah elemen berorder d dalam
(F ,*) maka
, maka
a
m
,
0
=
m
<
d
merupakan elemen yang berbeda dan semuanya merupakan pembuat nol dari polinomial
x
d
-
1
. Menggunakan Akibat 2.1.4.4,
terdapat paling banyak d pembuat
nol dari
polinomial
x
d
-
1
dalam F. Oleh karena
itu, polinomial
ini
mempunyai tepat d pembuat
nol dan semuanya
merupakan elemen
yang diperoleh dari pemangkatan a. Selanjutnya,
setiap elemen dalam F dengan order d adalah pembuat
nol dari
x
d
-
1
dan
merupakan
hasil pemangkatan dari a. Menggunakan Teorema 2.1.4.11, suatu pangkat
a
m
mempunyai
order
d
jika
dan
hanya
jika
gcd
(d , m)
=
1.
Oleh
karena
?
(d ) > 0 ,
maka
berakibat
?
(d ) = ?
(d ) .
Selanjutnya,
akan
dibuktikan
bahwa
?
(d ) >
0
.
Misalkan
 |