67
p
p
p
p
p
p
L.
Struktur Grup Pergandaan Bilangan Bulat Modulo Prima
Diberikan
grup
pergandaan
bilangan
bulat
modulo
p,
(Z
,*
) dengan
p
adalah
bilangan
prima.
Karena Z
p
adalah
lapangan
berhingga,
maka
(Z
,*
)
merupakan
grup
unit, sebab setiap elemen
(Z
,*
)
merupakan unit.
Akibat 2.1.4.6. (Buchmann, 2000)
Grup
(Z
,*
)
siklik dengan order
p
-
1
.
Bukti:
Diketahui
(Z
,*
)
adalah grup unit. Menggunakan Akibat 2.1.4.5 diperoleh bahwa
(Z
,*
)
mempunyai elemen pembangun, serta memuat
p
-
1
elemen sebab hanya elemen 0 yang
bukan
merupakan
unit.
Dengan
demikian,
terbukti
bahwa
(Z
,*
) adalah
grup
siklik
dengan order
p
-
1
.
Berikut
ini diberikan konsep
tentang suatu elemen
yang
membangun
grup
siklik
(Z
,*
)
.
Elemen
ini
nantinya
berperan
sangat
penting
dalam
algoritma
ElGamal,
karena digunakan sebagai salah satu kuncinya.
Definisi 2.1.4.5. (Buchmann, 2000)
Suatu
elemen
yang
membangun
(Z
,*
)
disebut
elemen primitif (primitive root) mod p.
Contoh 2.1.4.16. (Buchmann, 2000)
Diberikan p
= 13. Karena 13 adalah bilangan prima, maka menggunakan Teorema
2.1.4.8 diperoleh
?
(13) = 12 - 1 = 11
. Kemudian dihitung order dari
masing-masing
elemen
(Z
13
,*
) Dari sini diperoleh empat elemen
. Dari sini diperoleh empat elemen
yang
mempunyai order 12 dan sama
 |