11
Bukti:
1. Jika
a
|
b
dan
b
|
c
,
maka terdapat
p, q ? Z
sedemikian
hingga
b
=
ap dan
c
=
bq . Akibatnya
c
=
bq =
(ap)q =
a( pq) . Karena
p, q ? Z , diperoleh
a
|
c
.
2. Jika
a
|
b
,
maka
terdapat
p
?
Z
sedemikian
hingga
b
=
ap .
Akibatnya,
untuk
sebarang
c
?
Z
diperoleh
bc = (ap)c = p(ac) .
Terbukti bahwa
ac | bc ,
untuk
setiap
c
?
Z
.
3. Jika
c
|
a
dan
c
|
b
,
maka terdapat
p, q ? Z sedemikian
hingga
a
=
cp
dan
b
=
cq .
Akibatnya,
untuk
sebarang
d e ? Z
, e ? Z
diperoleh
da + eb =
dcp + ecq = c(dp + eq) , dengan kata lain
c
|
(da + eb) .
4. Jika
a
|
b
dan
b
?
0
,
maka
terdapat
p
?
Z
,
p
?
0
sedemikian
hingga
b
=
ap .
Akibatnya | b | = | ap | = | a | .
5. Diketahui
a
|
b
dan
b
|
a
.
Jika
a
=
0
,
maka
b
=
0.
Sebaliknya
jika
a
?
0
maka
b
?
0
.
Dengan menggunakan hasil (4) diperoleh bahwa
|
a
|
=
|
b
|
dan
|
a
|
=
|
b
|
,
akibatnya
|
a
|
=
|
b
|
.
B.
Algoritma Pembagian pada Bilangan Bulat
Berikut
ini diberikan sebuah teorema
yang disebut dengan algoritma pembagian
pada bilangan bulat, seperti dijelaskan pada Teorema 2.1.2.2.
Definisi 2.1.2.2. (Buchmann, 2000)
Untuk setiap bilangan real a ? R didefinisikan
[a
]
=
max
{z ? Z : z = a
}.
Dengan
demikian,
[a
]
merupakan
bilangan
bulat
terbesar
yang
lebih
kecil
atau
sama
dengan a
.
 |