12
Contoh 2.1.2.2.
1.
[
13,75
]
=
13 .
2.
[
-
5,42
]
=
-6 .
Teorema 2.1.2.2.
(Buchmann, 2000)
Jika a dan b bilangan bulat dengan
b
>
0 ,
maka
terdapat
dengan
tunggal
bilangan
bulat
q
dan
r
sedemikian
hingga
a
=
bq + r
dengan
0
=
r
<
b
, yaitu
q
=
?
a
?
dan
r
=
a
-
bq .
?
?
b
?
?
Bukti:
Diambil sebarang bilangan bulat a dan b dengan
b
>
0 , akan ditunjukkan bahwa
terdapat
q
=
?
a
?
?
Z
?
?
b
?
?
dan
r
?
Z
sedemikian hingga
a
=
bq + r dengan
0
=
r
<
b
.
Karena
a, b ? Z dan
b
>
0 ,
menggunakan
Definisi
2.1.2.2
diperoleh
bilangan
q
=
?
a
?
?
Z
?
?
b
?
?
sehingga diperoleh
a
=
bq . Akibatnya
terdapat
r
?
Z
,
r
=
0
sehingga
a
=
bq + r . Jika
b
pembagi dari a,
maka
a
=
bq
sehingga diperoleh r = 0 . Jika b bukan pembagi dari a,
maka
a
=
qb + r
dengan
hasil bagi
q
=
?
a
?
?
Z
,
dan
?
?
b
?
?
r
?
Z
adalah sisa a dibagi b. Jika
?
?
a
?
?
diambil r = b,
maka
a
=
b(q + 1)
sehingga
q
=
?
?
b
?
-
1
?
,
akibatnya terjadi kontradiksi
?
?
?
?
dengan
yang diketahui
yaitu
q
=
?
a
?
.
Selanjutnya, dari
hasil
terakhir dan karena
b
>
0
,
?
?
b
?
?
maka
0
=
r
<
b
.
Untuk
membuktikan r1
ketunggalannya,
misalkan
terdapat
q1 , q2 , r1 , r2
?
Z
sedemikian
hingga
a
=
q1b + r1
dan
a
=
bq2 + r2 .
Akibatnya
diperoleh
 |