21
Segitiga
tersebut
dibagi
ke
dalam
3
subhimpunan
segitiga
yang
lebih
kecil dan diubah skalanya dengan
faktor ½, sehingga himpunan ini
memiliki nilai
k
=
3
dan
nilai
faktor skala s
=
½.
Sama seperti karpet sierpinski, pola segitiga
dalam himpunan ini akan terus berulang dengan skala yang semakin kecil.
Gasket
sierpinski dimulai
dengan
segitiga
sama
sisi
penuh,
kemudian
dibagi
menjadi
empat
segitiga
sama
sisi
yang
lebih
kecil
menggunakan
titik
–
titik tengah dari tiga sisi segitiga asli sebagai
titik –
titik sudut. Abaikan segitiga
pada bagian
tengah. Ulangi prosedur
ini pada setiap segitig sama sisi penuh dari
tiga segitiga sama sisi penuh yang tertinggal.
Misalkan
daerah
asli
segitiga
S(0)
sama
dengan
1.
Pada
iterasi
pertama
kita
menghapus
(1/4)
bidang
S(0),
sehingga S(1)
memiliki luas
3/4.
Berikutnya
kami
menghapus 3
segitiga, setiap
memiliki (1/4) dari daerah
segitiga dari
yang
diambil, sehingga
total
luas
yang kita
hapus tersebut 3/16. Ini berarti bahwa S(2)
memiliki luas 3/4 - 3/16 = 9/16 = (3/4)
2.
Sepertinya kita
harus
memiliki daerah S(n) adalah (3/4)
n
untuk semua n.
Untuk
melihat
bahwa
ini
memang
demikian,
kita
bisa
menggunakan induksi.
Dalam membangun S (k
+1), kami
menghapus segitiga 3
k
,
masing-masing
daerah (1/4)
(k +1).
Menggunakan
hipotesis
induksi kita,
kita
mendapatkan bahwa
daerah S (k +1) sehingga akan menghasilkan rumus:
 |