15
n
a
Preserving
Projection
(LPP)
dan
dengan
tegas
memperhitungkan
struktur
manifold dari wajah.
Diberikan
sebuah
himpunan
citra
wajah
{x1,
x2,
…,
x
n
}
?
R
m
,
dan
X
=
[x1,
x2,
…,
x
n
].
S
menjadi
matriks
similaritas
yang
terdefinisi
pada
titik
–
titik
data.
Laplacianfaces
dapat
diperoleh
dengan
menyelesaikan permasalahan
minimalisasi berikut:
n
a
= arg min
(
a
T
x
-
a
T
x
)
2
S
opt
??
i
j
ij
i
=¹
j=1
= arg min a
T
XLX
T
a
a
dengan batasan a
T
XDX
T
a
=
1, di mana L = D - S adalah graph laplacian dan D
ii
=
?
j
S
ij
.
D
ii
mengukur kepadatan lokal dari x
j
.
Laplacianfaces mengkonstruksikan
matriks similaritas S menjadi
S
ij
=
e
-
xi -xj 2
t
untuk x
i
dan x
j
berhubungan dan S
ij
=
0 untuk x
i
dan x
j
tidak berhubungan.
Fungsi
objektif
pada
Laplacianfaces
mengalami
penalti
jika
titik
–
titik
yang
berdekatan,
x
i
dengan
x
j
,
dipetakan
berjauhan.
Karena
itu,
menyelesaikan
permasalahan
minimalisasi di atas
merupakan
usaha
untuk
memastikan bahwa
x
i
dan
x
j
berdekatan,
sehingga
y
i
(=a
T
x
i
)
dan
y
j
(=a
T
x
j
)
juga
berdekatan.
Pada
akhirnya, fungsi
basis
dari
Laplacianfaces
adalah
vektor
eigen
yang
berhubungan dengan nilai eigen terkecil dari masalah eigen XLX
T
a
=
?XDX
T
a.
XDX
T
menjadi
tunggal
setelah
beberapa
tahap
pemrosesan
terhadap
X pada
Laplacianfaces;
jadi,
fungsi
basis
dari
Laplacianfaces
dapat
dianggap
sebagai
 |