24
orang
itu ke dalam kelompok I,
laju perubahan orang terinfeksi baru adalah aSI = (aS)I,
artinya laju infeksi rata-rata perorang pada waktu t adalah aS.
Jika
I(0)
=
1,
akan
diperoleh
bahwa
pada
t
=
0,
dS
=
-aS (0)I (0) = -aS (0) .
dt
Karena
S(0)
adalah
nilai
terbesar
dari
S(t),
seorang
yang
terjangkiti
dapat
menulari,
secara
rata-rata,
tidak
lebih
dari
aS(0)
orang
rentan
per
satuan
waktu.
Diingatkan
juga
bahwa
lamanya
rata-rata
orang
terinfeksi
adalah
1
.
Jadi,
rata-rata
penularan
sekunder
ß
yang
dihasilkan
oleh
seorang
yang
tertulari
pada
kelompok
S(0)
orang
rentan
paling
besar adalah
a
S .
ß
Sekarang,
ingin
diketahui
perilaku
jangka
panjang
penyakit
dengan
model
SIR.
Akan ditunjukkan bahwa pada akhirnya jumlah orang yang terjangkiti akan menuju pada
0. Dari persamaan S(t) + I(t) + R(t) = N, diketahui bahwa pada saat t ?8, S(8) ada dan
mendekati
0,
dan R(8)
ada
dan
mendekati N.
Yang
sedikit
rumit
adalah I(8). Telaah
mengenai hal ini dapat dimulai dengan
I(8) =
lim I (t ) = N – S(8) – R(8).
t
?8
Karena S(8) ada dan R(8) ada,
maka
I(8) juga ada.
Ada dua kemungkinan
untuk I(8):
I(8) > 0 atau I(8) = 0. Menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, akan ditunjukkan
bahwa I(8) = 0.
Andaikan I(8) > 0. Karena
dR
=
ßI , jika I(8) > 0, maka akan didapatkan
dt
lim
dR
=
ßI (8)
>
0
,
t
?8
dt
 |